Question

【題目】如圖，直線與拋物線相交于A和B（4，n）兩點，點P是拋物線位于線段AB上方異于點A，B的一個動點，過點P作PQ⊥x軸，交線段AB于點Q．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在P點運動過程中，線段PQ的長是否存在最大值？若存在，求出這個最大值，并求出此時P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）直線AB與y軸交于點C，與x軸交于點D，若△PBQ與△ODC相似，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）線段PQ的長的最大值為9，此時P點坐標(biāo)為（1， ）；（3）點P的坐標(biāo)為（，－1）或（，6）．

【解析】試題分析：（1）把A、B的坐標(biāo)代入直線，即可得到m，n的值，從而得到A、B的坐標(biāo)， 再把A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，解方程即可得到結(jié)論；

（2）設(shè)點P的橫坐標(biāo)為a，則P（a， ），Q（a， ），用含a的代數(shù)式表示出PQ，配方即可得到結(jié)論；

（3）分兩種情況討論：①當(dāng)∠BPQ=90°時，②當(dāng)∠PBQ=90°時．

試題解析：解：（1）∵A（m，－4）和B（4，n）在直線上，∴， ，解得：m=－2，n=－1，∴A（－2，－4），B（4，－1）， ∴，解得： ， ∴拋物線的解析式為．

（2）設(shè)點P的橫坐標(biāo)為a，則P（a， ），Q（a， ），

∴PQ=，∴當(dāng)時，線段PQ長取得最大值為9，此時P點坐標(biāo)為（1， ）．

（3）∵PQ∥y軸，∴∠PQB=∠OCD．

∵∠COD=90°，∴當(dāng)∠PBQ=90°或∠BPQ=90°時，△PBQ與△ODC相似．

①當(dāng)∠BPQ=90°時，PB∥x軸，∴P點的縱坐標(biāo)為-1，由得： 或，∴P（，－1）；

②當(dāng)∠PBQ=90°時，設(shè)PB與x軸交于點M，由得：C（0，－3），D（6，0），∴OC=3，OD=6，∴CD=．

∵B（4，－1），∴BD=．∵∠DBM=∠DOC=90°，∠BDM=∠ODC，∴△BDM∽△ODC，∴，即，∴DM=，∴OM=，∴M（，0），∴直線PB的解析式為y=－2x+7．由得： ， ，∴P（，6）．

綜上可知：點P的坐標(biāo)為（，－1）或（，6）．