Question

【題目】如圖，是的直徑，點為上一點，點是半徑上一動點（不與，重合），過點作射線，分別交弦，于，兩點，在射線上取點，使．

（1）求證：是的切線；

（2）當點是的中點時，

①若，判斷以，，，為頂點的四邊形是什么特殊四邊形，并說明理由；

②若，且，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①四邊形是菱形，理由見解析；②5.

【解析】

（1）連接，利用和再進行等量代換證明OC⊥FC即可；

（2）①先證明，均為等邊三角形，求得，即可求解；

②利用三角函數(shù)，和勾股定理求出AC,BC,再利用垂徑定理求出HB，利用三角形面積公式求出PE,再求出OP,BP,DP即可.

解：（1）證明：如圖1，連接，

，

，

，

，

，

是的切線．

（2）如圖2，連接，OE交CB于點H.

①以為頂點的四邊形是菱形．理由如下：

是直徑，，

，，

點是的中點，

，

，均為等邊三角形，

四邊形是菱形；

②，設(shè)，，

由勾股定理得，即，解得，

，，

∵AB=20，

∴OE=OB=10，

點是的中點，

，，

，即，解得：，

由勾股定理得，

，

，即

．