Question

【題目】在中，,以AC為直徑的半圓O交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作圓O的切線，交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是半圓上異于點(diǎn)D的任一動點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）填空：

①若，則四邊形的面積為________；

②當(dāng)的度數(shù)是_______時(shí)，以為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②30°或60°．

【解析】

（1）連接OD，證明，得，利用外角和定理得，可得，證得平行；

（2）①連接CD，證明，求出AC，用勾股定理求出CD，結(jié)合，E為中點(diǎn)，四邊形在BD上的高為CD的一半，可求出面積；

②分為點(diǎn)F在和上，根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合圓的特點(diǎn)，分類討論即可．

（1）連接DO，則

因?yàn)?/span>DE是圓的切線,所以

(2) ①連接CD，如圖所示：

∵AC為直徑

∴°

∵且

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∵且E為中點(diǎn)

∴

故答案為：

②若點(diǎn)F在上時(shí)，如圖所示：

∵AODF為菱形

∴AF=AO

∵AO=OF

∴為等邊三角形

∴

∴

∴

若點(diǎn)F在上，作圖如下：

∵AODF為菱形

∴AD=AO

∵AO=OD

∴為等邊三角形

∴

∴

故答案為：30°或60°