Question

【題目】如圖1，四邊形是正方形，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以cm/s的速度沿邊、、勻速運(yùn)動(dòng)到終止；動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，以cm/s的速度沿邊勻速運(yùn)動(dòng)到終止，若、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為s，△的面積為cm2. 與之間函數(shù)關(guān)系的圖像如圖所示.

（1）求圖中線段所表示的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在邊運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若以、、為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求的值；

（3）是否存在這樣的，使將正方形的面積恰好分成的兩部分？若存在，求出這樣的的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）段的函數(shù)表達(dá)式為；

（2）當(dāng)或時(shí)，以、、為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形；

（3）存在和，使將正方形的面積恰好分成的兩部分．

【解析】試題分析：（1）函數(shù)圖象中線段FG，表示點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)至終點(diǎn)D之后停止運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)P在線段CD上繼續(xù)運(yùn)動(dòng)的情形．如圖2所示，求出S的表達(dá)式，并確定t的取值范圍；（2）分類討論，列方程求解即可；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ將正方形ABCD分成△APQ和五邊形PBCDQ兩部分，如圖3所示，求出t的值；當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ將菱形分為梯形ABPQ和梯形PCDQ兩部分，如圖4所示，求出t的值．

試題解析：（1）由題意，可知題圖2中點(diǎn)表示點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)時(shí)的情形，所用時(shí)間為s，則正方形的邊長(zhǎng)cm．點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)所需時(shí)間為： s，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至終點(diǎn)所需時(shí)間為s．

因此在段內(nèi)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在線段上繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，且時(shí)間的取值范圍為．

故，

∴段的函數(shù)表達(dá)式為．

（2）①若，則，顯然不成立

②若，則，解得， （舍去）

③若，則，解得， （舍去）

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，以、、為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形

（3）假設(shè)存在這樣的，使將正方形的面積恰好分成的兩部分.易得正方形的面積為．

①當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 將正方形分成△和五邊形兩部分，如圖所示，根據(jù)題意，得，解得；

圖3 圖4

②當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 將正方形分為梯形和梯形兩部分，如圖所示．根據(jù)題意，得，解得．

∴存在和，使將正方形的面積恰好分成的兩部分．