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        1. 已知關于x的兩個方程ax2+bx+c=0①,與ax2+(b-a)x+c-b=0②,它們的系數(shù)滿足a>b>c,方程①有兩個異號實數(shù)根.
          (1)證明:方程②一定有兩個不相等的實數(shù)根;
          (2)若1是方程①的一個根,方程②的兩個根分別為x1、x2,令k=
          c
          a
          ,問:是否存在實數(shù)k,使
          x
          2
          1
          x2+x1
          x
          2
          2
          =9
          ?如果存在,求出k的值;如果不存在,請說明現(xiàn)由.
          分析:(1)表示出根的判別式△,再根據(jù)方程①有兩個異號實數(shù)根求出a、c異號,從而確定出△>0,然后根據(jù)當△>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根證明即可;
          (2)利用根與系數(shù)的關系表示出x1+x2、x1x2,再根據(jù)1是方程①的一個根用a、c表示出b,然后把x12x2+x1x22分解因式并整理成關于a、c的式子,再轉化為k的代數(shù)式,然后解方程求出k的值,再根據(jù)方程①有兩個異號實數(shù)根判斷出k的取值范圍,從而得解.
          解答:(1)證明:△=(b-a)2-4a(c-b)=(a+b)2-4ac,
          ∵方程①有兩個異號實數(shù)根,
          ∴a≠0,且
          c
          a
          <0,
          ∴ac<0,
          ∴-4ac>0,
          ∵(a+b)2≥0,
          ∴△=(a+b)2-4ac>0,
          ∴方程②一定有兩個不相等的實數(shù)根;

          (2)解:∵x1、x2是方程②的兩根,
          ∴x1+x2=-
          b-a
          a
          =
          a-b
          a
          ,x1x2=
          c-b
          a
          ,
          ∵1是方程①的一個根,
          ∴a+b+c=0,
          ∴-b=a+c,
          ∴x12x2+x1x22=x1x2(x1+x2)=
          c-b
          a
          a-b
          a
          =
          c+a+c
          a
          a+a+c
          a
          =(1+
          2c
          a
          )(2+
          c
          a
          ),
          ∵k=
          c
          a
          ,
          ∴x12x2+x1x22=(1+2k)(2+k)=2k2+5k+2=9,
          整理得,2k2+5k-7=0,
          解得k1=-
          7
          2
          ,k2=1,
          ∵方程①有兩個異號實數(shù)根,
          ∴a≠0,k=
          c
          a
          <0,
          ∴k=-
          7
          2
          點評:本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c為常數(shù))的根的判別式△=b2-4ac.當△>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根;當△=0,方程有兩個相等的實數(shù)根;當△<0,方程沒有實數(shù)根.
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          k
          2
          )x2+(k+2)x-1=0
          ;   
          方程②:x2+(2k+1)x-2k-3=0.
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          (2)若方程①和②中只有一個方程有實數(shù)根,請說明此時哪個方程沒有實數(shù)根,并化簡
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          (1)證明:方程②一定有兩個不相等的實數(shù)根;
          (2)若1是方程①的一個根,方程②的兩個根分別為x1、x2,令數(shù)學公式,問:是否存在實數(shù)k,使數(shù)學公式?如果存在,求出k的值;如果不存在,請說明現(xiàn)由.

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