Question

【題目】點(diǎn)G為△ABC的重心（△ABC三條中線的交點(diǎn)），以點(diǎn)G為圓心作⊙G與邊AB，AC相切，與邊BC相交于點(diǎn)H，K，若AB＝4，BC＝6，則HK的長(zhǎng)為（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據(jù)切線的性質(zhì)得到EG⊥AB，FG⊥AC，連接AG并延長(zhǎng)交BC于S，根據(jù)重心的性質(zhì)得到BS＝CS＝BC＝3，延長(zhǎng)AS到O時(shí)SO＝AS，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠O＝∠CAS，AC＝OB，由勾股定理得到AS＝，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

設(shè)⊙G與邊AB，AC相切于E，F，連接EG，FG，

則EG⊥AB，FG⊥AC，

連接AG并延長(zhǎng)交BC于S，

∵EG＝FG，

∴∠BAS＝∠CAS，

∵點(diǎn)G為△ABC的重心，

∴BS＝CS＝BC＝3，

延長(zhǎng)AS到O時(shí)SO＝AS，

在△ACS與△OBS中，

∴△ACS≌△OBS（SAS），

∴∠O＝∠CAS，AC＝OB，

∵∠BAS＝∠CAS，

∴∠BAS＝∠O，

∴AB＝BO，

∴AB＝AC，

∴AS⊥BC，

∴AS＝，

∴AG＝AS＝，SG＝AS＝，

∵∠EAG＝∠SAB，∠AEG＝∠ASB＝90°，

∴△AEG∽△ASB，

∴，

∴，

∴EG＝，

連接GH，

∴GH＝，

∴HS＝，

∴HK＝2HS＝．

故選：A．