Question

【題目】已知：在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)、是某函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)．將函數(shù)圖象中的部分沿直線作軸對稱，的部分沿直線作軸對稱，與原函數(shù)圖象中的部分組成了個(gè)新函數(shù)的圖象，稱這個(gè)新函數(shù)為原函數(shù)關(guān)于點(diǎn)、的“雙對稱函數(shù)”．

例如：如圖①，點(diǎn)、是一次函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)、的“雙對稱函數(shù)”的圖象如圖②所示．

圖① 圖②

（1）點(diǎn)、是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)、的“雙對稱函數(shù)”的圖象記作．若是中心對稱圖形，直接寫出的值．

（2）點(diǎn)、是二次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，該二次函數(shù)關(guān)于點(diǎn)、的“雙對稱函數(shù)”記作．

①求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）．

②當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)的解析式；

③若時(shí)，函數(shù)的最小值為，求時(shí)，的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，；②；③或．

【解析】

（1）根據(jù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱可得，點(diǎn)A、B兩點(diǎn)一定關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得t的值；

（2）①直接將P、Q橫坐標(biāo)代入拋物線，可求得點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)；

②根據(jù)“雙對稱函數(shù)”的定義，函數(shù)在點(diǎn)P、Q處翻折，分3段表示函數(shù)解析式即可；

③存在3種情況，一種是t≤－1時(shí)，一種是－1＜t＜0時(shí)，還有一種是t≥0時(shí)，分別討論最小值可求得取值范圍．

（1）∵A、B在反比例函數(shù)

∴A(t，)，B(t+3，)

因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱

∴t+t+3=0

解得：．

（2）①∵

∴∵

∵

∴

∴，．

②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

原二次函數(shù)的解析式為．

當(dāng)x＜時(shí),函數(shù)沿y=翻折

得到:

當(dāng)時(shí)，函數(shù)不變，即為：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)沿y=翻折

得到：

故可求．

③當(dāng)t＜0時(shí)

同理，可求得

其中，t≤－1時(shí)，圖形如下

則點(diǎn)Q始終是函數(shù)在－1≤x≤1的最低點(diǎn)

∵，

∴

解得：≤t≤

∴≤t≤

當(dāng)－1＜t＜0時(shí)，則在x=－1時(shí)取得最小值

代入得：y=

∴－2≤≤－1

解得：≤t≤

∴≤t≤

當(dāng)t≥0時(shí)，同理，直接解不等式：

－2≤≤－1

解得：

∴綜上得： 或．