Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三點(diǎn)．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）如圖一，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)此拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖二，設(shè)線段AC的垂直平分線交x軸于點(diǎn)E，垂足為D，M為拋物線的頂點(diǎn)，那么在直線DE上是否存在一點(diǎn)G，使△CMG的周長(zhǎng)最��？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）y=﹣x²+x+2；（2）當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，2）時(shí)，四邊形ABPC的面積最大；（3）存在，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（）．

解析試題分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得.
（2）如答圖1，四邊形ABPC由△ABC與△PBC組成，△ABC面積固定，則只需要使得△PBC面積最大即可．求出△PBC面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)求出最值.
（3）如答圖2，DE為線段AC的垂直平分線，則點(diǎn)A、C關(guān)于直線DE對(duì)稱．連接AM，與DE交于點(diǎn)G，此時(shí)△CMG的周長(zhǎng)=CM+CG+MG=CM+AM最小，故點(diǎn)G為所求．分別求出直線DE、AM的解析式，聯(lián)立后求出點(diǎn)G的坐標(biāo)．
試題解析：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三點(diǎn)．
∴， 解得.
∴這條拋物線的解析式為：y=﹣x²+x+2．
（2）設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+m，將B（2，0）、C（0，2）代入得：
，解得.
∴直線BC的解析式為：y=﹣x+2．
如答圖1，連接BC．
四邊形ABPC由△ABC與△PBC組成，△ABC面積固定，則只需要使得△PBC面積最大即可．
設(shè)P（x，﹣x²+x+2），
過點(diǎn)P作PF∥y軸，交BC于點(diǎn)F，則F（x，﹣x+2）．
∴PF=（﹣x²+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x²+2x．
S_△PBC=S_△PFC+S_△PFB=PF（x_F﹣x_C）+PF（x_B﹣x_F）=PF（x_B﹣x_C）=PF
∴S_△PBC=﹣x²+2x=﹣（x﹣1）²+1
∴當(dāng)x=1時(shí)，△PBC面積最大，即四邊形ABPC面積最大．此時(shí)P（1，2）．
∴當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，2）時(shí)，四邊形ABPC的面積最大．

（3）存在．
∵∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠AED=90°，∴∠ACO=∠AED.
又∵∠CAO=∠CAO，∴△AOC∽△ADE.
∴，即，解得AE=.
∴E（，0）．
∵DE為線段AC的垂直平分線，∴點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，∴D（，1）．
可求得直線DE的解析式為：①．
∵，∴M（）．
又A（﹣1，0），則可求得直線AM的解析式為： ②．
∵DE為線段AC的垂直平分線，∴點(diǎn)A、C關(guān)于直線DE對(duì)稱．
如答圖2，連接AM，與DE交于點(diǎn)G，
此時(shí)△CMG的周長(zhǎng)=CM+CG+MG=CM+AM最小，故點(diǎn)G為所求．
聯(lián)立①②式，可求得交點(diǎn)G的坐標(biāo)為（）．
∴在直線DE上存在一點(diǎn)G，使△CMG的周長(zhǎng)最小，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（）．

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)綜合題；2.單擊動(dòng)點(diǎn)問題；3.待定系數(shù)法的應(yīng)用；4.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；5.二次函數(shù)的性質(zhì)；6.線段垂直平分線的性質(zhì)；7.軸對(duì)稱的應(yīng)用（最短線路問題）.