Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO是菱形，且∠AOC＝60°，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，8），點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線(xiàn)段CB向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)O開(kāi)始以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線(xiàn)OA方向移動(dòng)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．直線(xiàn)PQ交OB于點(diǎn)D，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）求t為何值時(shí)，直線(xiàn)PQ與菱形ABCO的邊互相垂直；

（3）如果將題中的條件變?yōu)辄c(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q的速度為每秒a（1≤a≤3）單位，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0<t≤8），其它條件不變．當(dāng)a為何值時(shí)，以O，Q，D為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似？請(qǐng)給出你的結(jié)論，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）A（4，4）．（2）t=2，t=8；（3）3.

【解析】

試題分析：（1）連接AC交OB于點(diǎn)M，根據(jù)菱形的性質(zhì)，在RT△AMO中，求出AM、OM即可．

（2）分兩種情形①如圖1中，當(dāng)PQ⊥OA時(shí)，過(guò)C作CH⊥OA于H，②如圖2中，當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，過(guò)P作PN∥AB交射線(xiàn)OA于N，分別利用直角三角形30度性質(zhì)列出方程即可解決．

（3）當(dāng)a=1，a=3時(shí)，以O(shè)，Q，D為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似，①當(dāng)a=1，△ODQ∽△OBA，②a=3時(shí)，△ODQ∽△OAB分別根據(jù)相似三角形性質(zhì)列出方程即可解決．

試題解析：（1）連接AC交OB于點(diǎn)M，

∵∠AOC=60°，四邊形ABCO是菱形，

∴AC垂直平分OB，OM=OB=4，∠AOM=30°，

∴AM=4，

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為A（4，4）．

（2）①如圖1中，當(dāng)PQ⊥OA時(shí)，過(guò)C作CH⊥OA于H，

∵PQ∥CH，PC∥QH，

∴四邊形PCHQ是平行四邊形，

∵∠CHQ=90°，

∴四邊形PCHQ是矩形，

∴PC=QH=t，OQ=3t，∠OCH=30°，OH=2t=OC=4，

∴t=2．

②如圖2中，當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，過(guò)P作PN∥AB交射線(xiàn)OA于N，

由菱形ABCO得，PN=AB=8，

∴OQ=3t，CP=t，∠PQN=30°，NQ=2t=16，

∴t=8，

即當(dāng)t=2，t=8時(shí)，直線(xiàn)PQ與菱形ABCO的邊互相垂直．

（3）當(dāng)a=1，a=3時(shí)，以O(shè)，Q，D為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似，

①當(dāng)a=1，△ODQ∽△OBA，

證明：由△ODQ∽△OBA，可得∠ODQ=∠OBA，此時(shí)PQ∥AB，

∴四邊形PCOQ為平行四邊形，

∴CP=OQ，即at=t，（0＜t≤8）

∴a=1時(shí)，△ODQ∽△OBA，

②a=3時(shí)，△ODQ∽△OAB

當(dāng)P與B重合時(shí)，D點(diǎn)也與B重合，此時(shí)t=8，

由△ODQ∽△OAB，得

，

∵OD=OB，

∴OB2=OAOQ，

即（8）2=8×8a，

∴a=3，

∴a=3，△ODQ∽△OAB．