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        1. 【題目】已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCO是菱形,且AOC=60°,點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,8),點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線(xiàn)段CB向點(diǎn)B移動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)O開(kāi)始以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線(xiàn)OA方向移動(dòng),點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).直線(xiàn)PQOB于點(diǎn)D,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

          (1)直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo);

          (2)求t為何值時(shí),直線(xiàn)PQ與菱形ABCO的邊互相垂直;

          (3)如果將題中的條件變?yōu)辄c(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位,點(diǎn)Q的速度為每秒a(1a3)單位,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(0<t8),其它條件不變.當(dāng)a為何值時(shí),以O,QD為頂點(diǎn)的三角形與OAB相似?請(qǐng)給出你的結(jié)論,并加以證明.

          【答案】(1)A(4,4).(2)t=2,t=8;(3)3.

          【解析】

          試題分析:(1)連接AC交OB于點(diǎn)M,根據(jù)菱形的性質(zhì),在RTAMO中,求出AM、OM即可.

          (2)分兩種情形如圖1中,當(dāng)PQOA時(shí),過(guò)C作CHOA于H,如圖2中,當(dāng)PQAB時(shí),過(guò)P作PNAB交射線(xiàn)OA于N,分別利用直角三角形30度性質(zhì)列出方程即可解決.

          (3)當(dāng)a=1,a=3時(shí),以O(shè),Q,D為頂點(diǎn)的三角形與OAB相似,當(dāng)a=1,ODQ∽△OBA,a=3時(shí),ODQ∽△OAB分別根據(jù)相似三角形性質(zhì)列出方程即可解決.

          試題解析:(1)連接AC交OB于點(diǎn)M,

          ∵∠AOC=60°,四邊形ABCO是菱形,

          AC垂直平分OB,OM=OB=4,AOM=30°

          AM=4,

          點(diǎn)D坐標(biāo)為A(4,4).

          (2)如圖1中,當(dāng)PQOA時(shí),過(guò)C作CHOA于H,

          PQCH,PCQH,

          四邊形PCHQ是平行四邊形,

          ∵∠CHQ=90°,

          四邊形PCHQ是矩形,

          PC=QH=t,OQ=3t,OCH=30°,OH=2t=OC=4,

          t=2.

          如圖2中,當(dāng)PQAB時(shí),過(guò)P作PNAB交射線(xiàn)OA于N,

          由菱形ABCO,PN=AB=8,

          OQ=3t,CP=t,PQN=30°,NQ=2t=16,

          t=8,

          即當(dāng)t=2,t=8時(shí),直線(xiàn)PQ與菱形ABCO的邊互相垂直.

          (3)當(dāng)a=1,a=3時(shí),以O(shè),Q,D為頂點(diǎn)的三角形與OAB相似,

          當(dāng)a=1,ODQ∽△OBA,

          證明:由ODQ∽△OBA,可得ODQ=OBA,此時(shí)PQAB,

          四邊形PCOQ為平行四邊形,

          CP=OQ,即at=t,(0<t8)

          a=1時(shí),ODQ∽△OBA,

          a=3時(shí),ODQ∽△OAB

          當(dāng)P與B重合時(shí),D點(diǎn)也與B重合,此時(shí)t=8,

          ODQ∽△OAB,得

          ,

          OD=OB,

          OB2=OAOQ,

          82=8×8a,

          a=3,

          a=3,ODQ∽△OAB.

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          號(hào)碼

          1

          2

          3

          4

          5

          誤差(g)

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