Question

已知：如圖①，E、F、G、H按照AE=CG，BF=DH，BF=nAE（n是正整數(shù)）的關(guān)系，分別在兩鄰邊長(zhǎng)a、na的矩形ABCD各邊上運(yùn)動(dòng)，設(shè)AE=x，四邊形EFGH的面積為S．
（1）當(dāng)n=1、2時(shí)，如圖②③，觀察運(yùn)動(dòng)情況，寫(xiě)出四邊形EFGH各頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何位置，使S=

1

2

S_矩形ABCD（2）當(dāng)n=3時(shí)，如圖④，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式（寫(xiě)出自變量x的取值范圍），探索S隨x增大而變得化的規(guī)律；猜想四邊形EFGH各頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何位置使S=

1

2

S_矩形ABCD
（3）當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，你所得到的規(guī)律和猜測(cè)是否成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（考生注意：你在本題研究中，如果能發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論，并說(shuō)明結(jié)論正確的理由，將酌情另加3～5分）

Answer 1

分析：本題要先求出四邊形EFGH的面積與x的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)判斷x的知和E、H等的位置．由于AE=CB，AH=CF，可證得△AEH≌△CGF，因此兩三角形的面積相等，同理可求得△EBF和GDH的面積相等，因此四邊形EFGH的面積可用矩形ABCD的面積-2×△EBF的面積-2×△AEH的面積來(lái)求得．三角形AEH中，AE=x，AH=na-nx，據(jù)此可求出三角形AEH的面積，同理可求出三角形EBF的面積，那么根據(jù)上面所得出的四邊形EFGH的面積計(jì)算方法可求出關(guān)于四邊形EFGH的面積與x的函數(shù)關(guān)系式．進(jìn)而可判斷當(dāng)四邊形EFGH的面積是矩形面積的一半時(shí)x的值，即E、H的位置．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，四邊形EFGH各頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到矩形ABCD各對(duì)應(yīng)邊中點(diǎn)，使S=

1

2

S_矩形ABCD當(dāng)n=2時(shí)，四邊形EFGH各頂點(diǎn)也運(yùn)動(dòng)到矩形ABCD各對(duì)應(yīng)邊中點(diǎn)，使S=

1

2

S_矩形ABCD

（2）當(dāng)n=3時(shí)，如圖④，由已知條件知，AE=CG=x，BF=DH=3x，AH=CF=3a-3x，BE=DG=a-x
∵S=S_矩形ABCD-S_Rt△AEH-S_Rt△BFE-S_Rt△CGF-S_Rt△DHG=S_矩形ABCD-2S_Rt△AEH-2S_Rt△BFE
=AB×CD-2×

1

2

AE×AH-2×

1

2

BF×BE
∴S=3a²-x（3a-3x）-3x（a-x）
=6（x²-ax）+3a²
即S=6（x-

a

2

）²+

3

2

a²（0≤x≤a）
∵6＞0
∴二次函數(shù)圖象的開(kāi)口向上
∴規(guī)律是：在對(duì)稱軸x=

a

2

左側(cè)，S隨x的增大而減小；在對(duì)稱軸x=

a

2

右側(cè)，S隨x的增大而增大．
猜測(cè)；四邊形EFGH各頂點(diǎn)仍然運(yùn)動(dòng)到矩形ABCD各對(duì)應(yīng)邊中點(diǎn)．

（3）當(dāng)n=k時(shí)，上述規(guī)律和猜測(cè)是成立的．
同理可求S=2kx²-2kax+ka²=2k(x-

a

2

)2+

k

2

a2（0≤x≤a）
由于k≥1，所以2k＞0
∴二次函數(shù)圖象的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸依然是x=

a

2

，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)知S隨x的增大而變化的規(guī)律，即：“在對(duì)稱軸x=

a

2

左側(cè)，S隨x的增大而減小；在對(duì)稱軸x=

a

2

右側(cè)，S隨x的增大而增大”是仍然成立的．
當(dāng)x=

a

2

時(shí)，即AE=CG=

a

2

，易知BF=DH=

3a

2

，
又∵S=

k

2

a2
∵S_矩形ABCD=ka²
∴S=

1

2

S_矩形ABCD
即猜測(cè)：四邊形EFGH各頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到矩形ABCD各對(duì)應(yīng)邊中點(diǎn)，使S=

1

2

S_矩形ABCD是成立的．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩形的性質(zhì)、圖形面積的求法、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)．