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        1. 【題目】如圖,在正方形ABCD外取一點E,連接AE、BE、DE.過點A作AE的垂線交DE于點P.若AE=AP=1,PB=,下列結論:① △APD≌△AEB;② EB⊥ED;③ 點B到直線AE的距離為; ④,其中正確結論的序號是( )

          A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④

          【答案】B

          【解析】

          ①利用同角的余角相等,易得∠EAB=PAD,再結合已知條件利用SAS可證兩三角形全等;②利用①中的全等,可得∠APD=AEB,結合三角形的外角的性質,易得∠BEP=90°,即可證;③過BBFAE,交AE的延長線于F,利用③中的∠BEP=90°,利用勾股定理可求BE,結合AEP是等腰直角三角形,可證BEF是等腰直角三角形,再利用勾股定理可求EF、BF;④連接BD,求出ABD的面積,然后減去BDP的面積即可.

          :①∵∠EAB+BAP=90°,

          PAD十∠BAP=90°,

          ∴∠EAB=PAD,

          又∵AE=AP,AB=AD,

          ∵在APDAEB中,

          APD≌△AEB(SAS);

          故此選項成立;

          ②∵△APD=AEB,

          ∴∠APD=AEB,

          ∵∠AEB=AEP+BEP,

          APD=AEP+PAE,

          ∴∠BEP=PAE= 90°,

          EBED;

          故此選項成立;

          ③過BBFAE ,AE的延長線于F,

          AE=AP,EAP=90°,

          ∴∠AEP=APE=45°,

          又∵③中EBED,BFAF,

          又∵BE=,

          BF=EF=,

          ∴點B到直線AE的距離為,

          故此選項不正確,

          ④如圖,連接BD,

          RtAEP,

          AE=AP=1,

          EP=,

          又∵PB=,

          BE=,

          ∵△APD≌△AEB,

          PD=BE=,

          SABP+SADP=SABD-SBDP=S正方形ABCD×DP×BE=×(4+)-××,

          故此選項不正確,

          ∴正確的有①②④,

          B選項正確.

          練習冊系列答案
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