Question

如圖（1），Rt△AOB中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB=2

3

，∠AOB的平分線OC交AB于C，過O點(diǎn)做與OB垂直的直線ON．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線BC-CO以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿折線CO-ON以相同的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求OC、BC的長；
（2）設(shè)△CPQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)P在OC上Q在ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖（2），設(shè)PQ與OA交于點(diǎn)M，當(dāng)t為何值時(shí)，△OPM為等腰三角形？求出所有滿足條件的t值．

Answer 1

（1）∵∠A=90°，∠AOB=60°，OB=2

3

，
∴∠B=30°，
∴OA=

1

2

OB=

3

，
由勾股定理得：AB=3，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=30°=∠B，
∴OC=BC，
在△AOC中，AO²+AC²=CO²，
∴(

3

)2+（3-OC）²=OC²，
∴OC=2=BC，
答：OC=2，BC=2．

（2）①當(dāng)P在BC上，Q在OC上時(shí)，0＜t＜2，
則CP=2-t，CQ=t，
過P作PH⊥OC于H，
∠HCP=60°，
∠HPC=30°，
∴CH=

1

2

CP=

1

2

（2-t），HP=

3

2

（2-t），
∴S_△CPQ=

1

2

CQ×PH=

1

2

×t×

3

2

（2-t），
即S=-

3

4

t²+

3

2

t；
②當(dāng)t=2時(shí)，P在C點(diǎn)，Q在O點(diǎn)，此時(shí)，△CPQ不存在，
∴S=0，

③當(dāng)P在OC上，Q在ON上時(shí)2＜t＜4，
過P作PG⊥ON于G，過C作CZ⊥ON于Z，
∵CO=2，∠NOC=60°，
∴CZ=

3

，
CP=t-2，OQ=t-2，
∠NOC=60°，
∴∠GPO=30°，
∴OG=

1

2

OP=

1

2

（4-t），PG=

3

2

（4-t），
∴S_△CPQ=S_△COQ-S_△OPQ=

1

2

×（t-2）×

3

-

1

2

×（t-2）×

3

2

（4-t），
即S=

3

4

t²-

3

t+

3

．
④當(dāng)t=4時(shí)，P在O點(diǎn)，Q在ON上，如圖（3）

過C作CM⊥OB于M，CK⊥ON于K，
∵∠B=30°，由（1）知BC=2，
∴CM=

1

2

BC=1，
有勾股定理得：BM=

3

，
∵OB=2

3

，
∴OM=2

3

-

3

=

3

=CK，
∴S=

1

2

PQ×CK=

1

2

×2×

3

=

3

；
綜合上述：S與t的函數(shù)關(guān)系式是：S=

- 3 4 t2+ 3 2 t(0＜t≤2) 3 4 t2- 3 t+ 3 (2＜t≤4)

；
．

（3）如圖（2），∵ON⊥OB，
∴∠NOB=90°，
∵∠B=30°，∠A=90°，
∴∠AOB=60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=30°，
∴∠NOC=90°-30°=60°，
①OM=PM時(shí)，
∠MOP=∠MPO=30°，
∴∠PQO=180°-∠QOP-∠MPO=90°，
∴OP=2OQ，
∴2（t-2）=4-t，
解得：t=

8

3

，
②PM=OP時(shí)，
此時(shí)∠PMO=∠MOP=30°，
∴∠MPO=120°，
∵∠QOP=60°，
∴此時(shí)不存在；
③OM=OP時(shí)，
過P作PG⊥ON于G，
OP=4-t，∠QOP=60°，
∴∠OPG=30°，
∴GO=

1

2

（4-t），PG=

3

2

（4-t），
∵∠AOC=30°，OM=OP，
∴∠OPM=∠OMP=75°，
∴∠PQO=180°-∠QOP-∠QPO=45°，
∴PG=QG=

3

2

（4-t），
∵OG+QG=OQ，
∴

1

2

（4-t）+

3

2

（4-t）=t-2，
解得：t=

6+2 3

3

綜合上述：當(dāng)t為

8

3

或

6+2 3

3

時(shí)，△OPM是等腰三角形．