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        1. 【題目】已知:四邊形ABCD是正方形,E是AB邊上一點(diǎn),F(xiàn)是BC延長線上一點(diǎn),且DE=DF.
          (1)如圖1,求證:DF⊥DE;
          (2)如圖2,連接AC,EF交于點(diǎn)M,求證:M是EF的中點(diǎn).

          【答案】
          (1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,

          ∴DA=DC,∠DAE=∠DCB=90°.

          ∴∠DCF=180°﹣90°=90°.

          ∴∠DAE=∠DCF.

          在Rt△DAE和Rt△DCF中,

          ∴Rt△DAE≌Rt△DCF(HL).

          ∴∠ADE=∠CDF,

          ∵∠ADE+∠CDE=90°,

          ∴∠CDF+∠CDE=90°,

          即∠EDF=90°,

          ∴DF⊥DE


          (2)證明;過點(diǎn)F作GF⊥CF交AC的延長線于點(diǎn)G,

          則∠GFC=90°.

          ∵正方形ABCD中,∠B=90°,

          ∴∠GFC=∠B.

          ∴AB∥GF.

          ∴∠BAC=∠G.

          ∵四邊形ABCD是正方形,

          ∴AB=BC,

          ∴∠BAC=∠BCA=45°.

          ∴∠BAC=∠BCA=∠FCG=∠G=45°.

          ∴FC=FG.

          ∵△DAE≌△DCF,

          ∴AE=CF.

          ∴AE=FG.

          在△AEM和△GFM中, ,

          ∴△AEM≌△GFM(AAS).

          ∴ME=MF.

          即M是EF的中點(diǎn)


          【解析】(1)由正方形的性質(zhì)得出DA=DC,∠DAE=∠DCB=90°.得出∠DAE=∠DCF.由HL證明Rt△DAE≌Rt△DCF,得出∠ADE=∠CDF,證出∠EDF=90°即可;(2)證明;過點(diǎn)F作GF⊥CF交AC的延長線于點(diǎn)G,則∠GFC=90°.AB∥GF.得出∠BAC=∠G.由正方形的性質(zhì)證出FC=FG.得出AE=FG.由AAS證明△AEM≌△GFM,得出ME=MF即可.
          【考點(diǎn)精析】利用正方形的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.

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