Question

如圖，⊙O′與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，圓心O′的坐標(biāo)為（1，-1），半徑為

5

．
（1）求A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的切線(xiàn)解析式；
（3）問(wèn)過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)與過(guò)點(diǎn)D的切線(xiàn)是否垂直？若垂直，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不垂直，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）過(guò)O′作O′H⊥x軸于H，連接OB，在Rt△O′BH中，由O′的坐標(biāo)可得出O′H的長(zhǎng)，即可由勾股定理求得BH的長(zhǎng)，進(jìn)而可由垂徑定理求出OA的長(zhǎng)，即可得到A、B的坐標(biāo)；同理可求出C、D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)過(guò)D的切線(xiàn)交x軸于E，設(shè)EA=x，即可表示出OE、EB的長(zhǎng)；可分別用切割線(xiàn)定理及勾股定理得出DE²的表達(dá)式，聯(lián)立兩式即可求出x的值，也就得到了E點(diǎn)的坐標(biāo)；進(jìn)而可利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)DE的解析式；
（3）由（1）易得AB=CD，則弧AB=弧CD，由弦切角定理即可得到∠NAO=∠MDN；而∠NAO與∠ANO互余，則∠MDN也與∠ANO互余，由此得證．

解答：解：（1）連接O'B，過(guò)點(diǎn)O'分別作x軸、y軸的垂線(xiàn)，垂足分別為H、如圖
∵BH=

O′B2-O′H2

=2，
∴OB=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）；（1分）
∵AH=BH=2，OH=1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），（2分）
類(lèi)似地，可得到點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為（0，1），（0，-3）；（4分）

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)D的切線(xiàn)交x軸于點(diǎn)E，EA=x，
則DE²=EA•EB=x（x+4）；
又在Rt△DOE中，DE²=EO²+DO²=（x+1）²+3²，
∴（x+1）²+3²=x（x+4）；（6分）
解得x=5，即EA=5，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-6，0）；（7分）
設(shè)所求切線(xiàn)的解析式為y=kx+b，因?yàn)樗��?jīng)過(guò)（0，-3）和（-6，0）兩點(diǎn)，
則

b=-3 -6k+b=0

解得

k=- 1 2 b=-3

∴所求解析式為y-

1

2

-3；（8分）

（3）答：過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)與過(guò)點(diǎn)D的切線(xiàn)互相垂直．證明如下：（9分）
證明：設(shè)過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)與DE相交于點(diǎn)M，與y軸相交于點(diǎn)N；
∵AB=CD=4，即有

AB

=

CD

∴∠NAO=∠MDO；（10分）
又∵∠NAO+∠ANO=90°，
∴∠MND+∠MDN=90°；
∴過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)與過(guò)點(diǎn)D的切線(xiàn)互相垂直．（11分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了垂徑定理、勾股定理、一次函數(shù)解析式的確定、切線(xiàn)的性質(zhì)、切割線(xiàn)定理、弦切角定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，綜合性較強(qiáng)，難度較高．