Question

如圖1，小明將一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張全等直角三角形紙片（如圖2），量得他們的斜邊長為10cm，較小銳角為30°，再將這兩張三角紙片擺成如圖3的形狀，使點B、F、D在同一條直線上，F(xiàn)為公共直角頂點．

小明在對這兩張三角形紙片進行如下操作時遇到了兩個問題，請你幫助解決．
（1）將圖3中的△ABF繞點F順時針方向旋轉(zhuǎn)30°到圖4的位置，A₁F交DE于點G，請你求出線段FG的長度；
（2）將圖3中的△ABF沿直線AF翻折到圖5的位置，AB₁交DE于點H，請證明：AH=DH．

Answer 1

分析：（1）在Rt△EFD中，求出FD的長，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得：FG=

1

2

FD，即可求得FG的值；
（2）借助平移的性質(zhì)，經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等，容易證明．

解答：解：（1）∵∠A₁FA=30°，
∴∠GFD=60°，∠D=30°，
∴∠FGD=90°，
在Rt△EFD中，ED=10cm，
∵FD=5

3

，
∴FG=

5 3

2

cm；

（2）△AHE與△DHB₁中，
∵∠FAB₁=∠EDF=30°，
∴FD=FA，EF=FB=FB₁，
∴FD-FB₁=FA-FE，即AE=DB₁，
又∵∠AHE=∠DHB₁，
∴△AHE≌△DHB₁（AAS），
∴AH=DH．

點評：本題是一道全等三角形的判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平移的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)結(jié)合求解的綜合題．考查學生綜合運用數(shù)學的能力．