Question

【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)0．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．連接PO并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)Q作QF∥AC，交BD于點(diǎn)F．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜6），解答下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△AOP是等腰三角形？

（2）設(shè)五邊形OECQF的面積為S（cm2），試確定S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使S五邊形S五邊形OECQF：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（4）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）t為或5；（2）；（3）t=；（4）t=2.88．

【解析】（1）∵在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm，∴AC=10，①當(dāng)AP=PO=t，如圖1，過(guò)P作PM⊥AO，∴AM=AO=，∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，∴△APM∽△ADC，∴，∴AP=t=，②當(dāng)AP=AO=t=5，∴當(dāng)t為或5時(shí)，△AOP是等腰三角形；

（2）作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，在△APO與△CEO中，∵∠PAO=∠ECO，AO=OC，∠AOP=∠COE，∴△AOP≌△COE，∴CE=AP=t，∵△CEH∽△ABC，∴，∴EH=，∵DN==，∵QM∥DN，∴△CQM∽△CDN，∴，即，∴QM=，∴DG==，∵FQ∥AC，∴△DFQ∽△DOC，∴，∴FQ=，∴S五邊形OECQF=S△OEC+S四邊形OCQF==，∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為；

（3）存在，∵S△ACD=×6×8=24，∴S五邊形OECQF：S△ACD=（）：24=9：16，解得t=，t=0，（不合題意，舍去），∴t=時(shí)，S五邊形S五邊形OECQF：S△ACD=9：16；

（4）如圖3，過(guò)D作DM⊥AC于M，DN⊥AC于N，∵∠POD=∠COD，∴DM=DN=，∴ON=OM==，∵OPDM=3PD，∴OP=，∴PM=，∵，∴，解得：t≈15（不合題意，舍去），t≈2.88，∴當(dāng)t=2.88時(shí)，OD平分∠COP．