Question

【題目】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E、F，連接EF．設(shè)CE=a，CF=b．

（1）如圖①，當(dāng)a=8時(shí)，b的值為 ；

（2）如圖②，當(dāng)∠EAF被對(duì)角線AC平分時(shí)，求a、b的值；

（3）請(qǐng)寫(xiě)出∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中a，b滿足的關(guān)系式，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）16；（2）；（3），理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）先判斷出∠AFC+∠CAF=45°，判斷出∠CAF=∠AEC，進(jìn)而判斷出△ACF∽△ECA，即可得出結(jié)論；

（2）先證明△ACF≌△ACE，從而得到CF=CE，然后再證明△ACE為等腰三角形，則CE=AC=8；

（3）先判斷出∠AFC+∠CAF=45°，判斷出∠CAF=∠AEC，進(jìn)而判斷出△ACF∽△ECA，即可得出結(jié)論．

（1）∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線，

∴∠BCD=90°，∠ACB=45°，

∴∠ACF=135°，

∴∠AFC+∠CAF=45°，

∵∠AFC+∠AEC=180°-（∠CFE+∠CEF）-∠EAF=180°-90°-45°=45°，

∴∠CAF=∠AEC，

∵∠ACF=∠ACE=135°，

∴△ACF∽△ECA，

∴，

∴EC×CF=AC2=2AB2=128

∴ab=128，

∵a=8，

∴b=16；

（2）∵四邊形是正方形，

∴

∵是正方形的對(duì)角線，

∴，∴，

∵被對(duì)角線平分，

∴，

在和中，，

∴，∴，

∵，，

∴，

∵，

又∵，

∴，∴

在直角三角形中，

∴，即：．

（3）

理由：∵是正方形的對(duì)角線

∴，

∴

∵，

∴

∴

∴

∴

∵（已求）

，

∴