Question

已知：如圖，直角坐標(biāo)系內(nèi)的梯形AOBC，AC∥OB，AC、OB的長(zhǎng)分別是關(guān)于x的方程x²-6mx+m²+4=0的兩根，并且S_△AOC：S_△BOC=1：5．
（1）求AC、OB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)BC⊥OC時(shí)，求OC的長(zhǎng)及OC所在直線的解析式；
（3）在第（2）問(wèn)的條件下，線段OC上是否存在一點(diǎn)M，過(guò)M點(diǎn)作x軸的平行線，交y軸于F，交BC于D，過(guò)D點(diǎn)作y軸的平行線，交x軸于點(diǎn)E，使S_矩形FOED=

1

2

S_梯形AOBC？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等高三角形的面積等于底邊比，可得出AC：OB=1：5．而AC、OB又是方程x²-6mx+m²+4=0的兩根，可根據(jù)韋達(dá)定理得出AC、OB的和與積的值，然后聯(lián)立AC、OB的比例關(guān)系式可求出AC、OB的長(zhǎng)；
（2）本題要通過(guò)相似三角形求解．如果BC⊥OC，那么∠AOC和∠OBC就同為∠COB的余角，因此兩角相等，可得出△OBC∽△COA，根據(jù)相似三角形得出的OC²=AC•OB，可求出OC的長(zhǎng)．進(jìn)而可在直角三角形OAC中，求出OA的長(zhǎng)，已知了AC的長(zhǎng)，也就得出了C點(diǎn)的坐標(biāo)．可用待定系數(shù)法求出OC所在直線的解析式；
（3）先求出矩形FDEO的面積S與OE的長(zhǎng)a的函數(shù)關(guān)系式，易知直線BC的解析式為y=-

1

2

x+

5

2

，那么DE=-

1

2

a+

5

2

，因此S=OE•DE=-

1

2

a²+

5

2

a，易求得梯形AOBC的面積為6，因此S=-

1

2

a²+

5

2

a=3，解得a=2或3，當(dāng)a=2時(shí)，DE=-

1

2

×2+

5

2

=

3

2

，即M點(diǎn)縱坐標(biāo)為

3

2

，代入直線OC的解析式中可得M（

3

4

，-

3

2

），同理可求得當(dāng)a=3時(shí)，M（

1

2

，1）．

解答：解：（1）∵S_△AOC：S_△BOC=1：5
∴AC：OB=1：5
不妨設(shè)AC=k，OB=5k
由題意得

k+5k=6m k•5k=m2+4

解得

m=1 k=1

或

m=-1 k=-1

（不合題意，舍去）
∴AC=1，OB=5；

（2）∵∠OAC=∠BCO=90°，∠ACO=∠BOC
∴△OBC∽△COA
∴

OB

OC

=

OC

AC

，OC²=OB•AC
∴OC=

5

或OC=-

5

（舍去）
∵AC=1，∴AO=2
∴C（1，2）
∴直線OC的解析式為y=2x；

（3）存在，M（

3

4

，

3

2

）或（

1

2

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一次函數(shù)的綜合運(yùn)用以及三角形，梯形的性質(zhì)，難度中等．