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        1. 已知:如圖,直角坐標(biāo)系內(nèi)的梯形AOBC,AC∥OB,AC、OB的長分別是關(guān)于x的方程x2-6mx+m2+4=0的兩根,并且S△AOC:S△BOC=1:5.
          (1)求AC、OB的長;
          (2)當(dāng)BC⊥OC時,求OC的長及OC所在直線的解析式;
          (3)在第(2)問的條件下,線段OC上是否存在一點M,過M點作x軸的平行線,交y軸于F,交BC于D,過D點作y軸的平行線,交x軸于點E,使S矩形FOED=
          12
          S梯形AOBC?若存在,請直接寫出M點的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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          分析:(1)根據(jù)等高三角形的面積等于底邊比,可得出AC:OB=1:5.而AC、OB又是方程x2-6mx+m2+4=0的兩根,可根據(jù)韋達(dá)定理得出AC、OB的和與積的值,然后聯(lián)立AC、OB的比例關(guān)系式可求出AC、OB的長;
          (2)本題要通過相似三角形求解.如果BC⊥OC,那么∠AOC和∠OBC就同為∠COB的余角,因此兩角相等,可得出△OBC∽△COA,根據(jù)相似三角形得出的OC2=AC•OB,可求出OC的長.進(jìn)而可在直角三角形OAC中,求出OA的長,已知了AC的長,也就得出了C點的坐標(biāo).可用待定系數(shù)法求出OC所在直線的解析式;
          (3)先求出矩形FDEO的面積S與OE的長a的函數(shù)關(guān)系式,易知直線BC的解析式為y=-
          1
          2
          x+
          5
          2
          ,那么DE=-
          1
          2
          a+
          5
          2
          ,因此S=OE•DE=-
          1
          2
          a2+
          5
          2
          a,易求得梯形AOBC的面積為6,因此S=-
          1
          2
          a2+
          5
          2
          a=3,解得a=2或3,當(dāng)a=2時,DE=-
          1
          2
          ×2+
          5
          2
          =
          3
          2
          ,即M點縱坐標(biāo)為
          3
          2
          ,代入直線OC的解析式中可得M(
          3
          4
          ,-
          3
          2
          ),同理可求得當(dāng)a=3時,M(
          1
          2
          ,1).
          解答:精英家教網(wǎng)解:(1)∵S△AOC:S△BOC=1:5
          ∴AC:OB=1:5
          不妨設(shè)AC=k,OB=5k
          由題意得
          k+5k=6m
          k•5k=m2+4

          解得
          m=1
          k=1
          m=-1
          k=-1
          (不合題意,舍去)
          ∴AC=1,OB=5;

          (2)∵∠OAC=∠BCO=90°,∠ACO=∠BOC
          ∴△OBC∽△COA
          OB
          OC
          =
          OC
          AC
          ,OC2=OB•AC
          ∴OC=
          5
          或OC=-
          5
          (舍去)
          ∵AC=1,∴AO=2
          ∴C(1,2)
          ∴直線OC的解析式為y=2x;

          (3)存在,M(
          3
          4
          ,
          3
          2
          )或(
          1
          2
          ,1).
          點評:本題考查的是一次函數(shù)的綜合運用以及三角形,梯形的性質(zhì),難度中等.
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          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知:如圖(1),在平面直角坐標(biāo)xOy中,邊長為2的等邊△OAB的頂點B在第一象限,頂點A在x軸的正半軸上.另一等腰△OCA的頂點C在第四象限,OC=AC,∠C=120°.現(xiàn)有兩動點P、Q分別從A、O兩點同時出發(fā),點Q以每秒1個單位的速度沿OC向點C運動,點P以每秒3個單位的速度沿A→O→B運動,當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時,另一個點也隨即停止.
          (1)求在運動過程中形成的△OPQ的面積S與運動的時間t之間的函數(shù)關(guān)系,并寫出自變量t的取值范圍;
          (2)在等邊△OAB的邊上(點A除外)存在點D,使得△OCD為等腰三角形,請直接寫出所有符合條件的點D的坐標(biāo);
          (3)如圖(2),現(xiàn)有∠MCN=60°,其兩邊分別與OB、AB交于點M、N,連接MN.將∠MCN繞著C點旋轉(zhuǎn)(0°<旋轉(zhuǎn)角<60°),使得M、N始終在邊OB和邊AB上.試判斷在這一過程中,△BMN的周長是否發(fā)生變化?若沒有變化,請求出其周長;若發(fā)生變化,請說明理由.
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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年湖北省荊州市江陵縣五三中學(xué)九年級(上)期末數(shù)學(xué)模擬試卷5(解析版) 題型:解答題

          已知:如圖(1),在平面直角坐標(biāo)xOy中,邊長為2的等邊△OAB的頂點B在第一象限,頂點A在x軸的正半軸上.另一等腰△OCA的頂點C在第四象限,OC=AC,∠C=120°.現(xiàn)有兩動點P、Q分別從A、O兩點同時出發(fā),點Q以每秒1個單位的速度沿OC向點C運動,點P以每秒3個單位的速度沿A→O→B運動,當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時,另一個點也隨即停止.
          (1)求在運動過程中形成的△OPQ的面積S與運動的時間t之間的函數(shù)關(guān)系,并寫出自變量t的取值范圍;
          (2)在等邊△OAB的邊上(點A除外)存在點D,使得△OCD為等腰三角形,請直接寫出所有符合條件的點D的坐標(biāo);
          (3)如圖(2),現(xiàn)有∠MCN=60°,其兩邊分別與OB、AB交于點M、N,連接MN.將∠MCN繞著C點旋轉(zhuǎn)(0°<旋轉(zhuǎn)角<60°),使得M、N始終在邊OB和邊AB上.試判斷在這一過程中,△BMN的周長是否發(fā)生變化?若沒有變化,請求出其周長;若發(fā)生變化,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2013年重慶市涪陵二中中考數(shù)學(xué)模擬試卷(二)(解析版) 題型:解答題

          已知:如圖(1),在平面直角坐標(biāo)xOy中,邊長為2的等邊△OAB的頂點B在第一象限,頂點A在x軸的正半軸上.另一等腰△OCA的頂點C在第四象限,OC=AC,∠C=120°.現(xiàn)有兩動點P、Q分別從A、O兩點同時出發(fā),點Q以每秒1個單位的速度沿OC向點C運動,點P以每秒3個單位的速度沿A→O→B運動,當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時,另一個點也隨即停止.
          (1)求在運動過程中形成的△OPQ的面積S與運動的時間t之間的函數(shù)關(guān)系,并寫出自變量t的取值范圍;
          (2)在等邊△OAB的邊上(點A除外)存在點D,使得△OCD為等腰三角形,請直接寫出所有符合條件的點D的坐標(biāo);
          (3)如圖(2),現(xiàn)有∠MCN=60°,其兩邊分別與OB、AB交于點M、N,連接MN.將∠MCN繞著C點旋轉(zhuǎn)(0°<旋轉(zhuǎn)角<60°),使得M、N始終在邊OB和邊AB上.試判斷在這一過程中,△BMN的周長是否發(fā)生變化?若沒有變化,請求出其周長;若發(fā)生變化,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2012年5月中考數(shù)學(xué)模擬試卷(48)(解析版) 題型:解答題

          已知:如圖(1),在平面直角坐標(biāo)xOy中,邊長為2的等邊△OAB的頂點B在第一象限,頂點A在x軸的正半軸上.另一等腰△OCA的頂點C在第四象限,OC=AC,∠C=120°.現(xiàn)有兩動點P、Q分別從A、O兩點同時出發(fā),點Q以每秒1個單位的速度沿OC向點C運動,點P以每秒3個單位的速度沿A→O→B運動,當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時,另一個點也隨即停止.
          (1)求在運動過程中形成的△OPQ的面積S與運動的時間t之間的函數(shù)關(guān)系,并寫出自變量t的取值范圍;
          (2)在等邊△OAB的邊上(點A除外)存在點D,使得△OCD為等腰三角形,請直接寫出所有符合條件的點D的坐標(biāo);
          (3)如圖(2),現(xiàn)有∠MCN=60°,其兩邊分別與OB、AB交于點M、N,連接MN.將∠MCN繞著C點旋轉(zhuǎn)(0°<旋轉(zhuǎn)角<60°),使得M、N始終在邊OB和邊AB上.試判斷在這一過程中,△BMN的周長是否發(fā)生變化?若沒有變化,請求出其周長;若發(fā)生變化,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2010年全國中考數(shù)學(xué)試題匯編《三角形》(12)(解析版) 題型:解答題

          (2010•重慶)已知:如圖(1),在平面直角坐標(biāo)xOy中,邊長為2的等邊△OAB的頂點B在第一象限,頂點A在x軸的正半軸上.另一等腰△OCA的頂點C在第四象限,OC=AC,∠C=120°.現(xiàn)有兩動點P、Q分別從A、O兩點同時出發(fā),點Q以每秒1個單位的速度沿OC向點C運動,點P以每秒3個單位的速度沿A→O→B運動,當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時,另一個點也隨即停止.
          (1)求在運動過程中形成的△OPQ的面積S與運動的時間t之間的函數(shù)關(guān)系,并寫出自變量t的取值范圍;
          (2)在等邊△OAB的邊上(點A除外)存在點D,使得△OCD為等腰三角形,請直接寫出所有符合條件的點D的坐標(biāo);
          (3)如圖(2),現(xiàn)有∠MCN=60°,其兩邊分別與OB、AB交于點M、N,連接MN.將∠MCN繞著C點旋轉(zhuǎn)(0°<旋轉(zhuǎn)角<60°),使得M、N始終在邊OB和邊AB上.試判斷在這一過程中,△BMN的周長是否發(fā)生變化?若沒有變化,請求出其周長;若發(fā)生變化,請說明理由.

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