Question

【題目】如圖，四邊形中，，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，延長交于點(diǎn)．

求證：四邊形是矩形；

若，，求的長．

Answer 1

【答案】證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)平行線求出∠B=∠BAF=90°，∠BCD=∠FDC=45°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出DE=DC，∠EDC=90°，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠AFC=90°，根據(jù)矩形的判定即可得出結(jié)論；

（2）求出AF和DF，求出DF=EF=1，根據(jù)勾股定理求出即可．

（1）∵AD∥BC，AB⊥BC，∠BCD=45°，∴∠B=∠BAF=90°，∠BCD=∠FDC=45°．

∵將CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ED，∴DE=DC，∠EDC=90°，∴∠EDF=45°=∠FDC，∴DF⊥CE，∴∠AFC=90°，即∠B=∠BAF=∠AFC=90°，∴四邊形ABCF是矩形；

（2）∵四邊形ABCF是矩形，∴AF=BC=3，∴DF=3﹣2=1．

∵∠EDF=45°，∠DFE=90°，∴∠DEF=∠EDF=45°，∴DF=EF=1．在Rt△AFE中，由勾股定理得：AE===．