Question

如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，且AC＝CF，∠CBF＝∠CFB．

（1）求證：直線BF是⊙O的切線；
（2）若點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是弧AB的三等分點(diǎn)，當(dāng)AD=5時(shí)，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）由∠CBF＝∠CFB可得CB＝CF，再結(jié)合AC＝CF可得CB＝AF，即可證得△ABF是直角三角形，從而可以證得結(jié)論；（2）10

試題分析：（1）由∠CBF＝∠CFB可得CB＝CF，再結(jié)合AC＝CF可得CB＝AF，即可證得△ABF是直角三角形，從而可以證得結(jié)論；
（2）連接DO，EO，由點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是弧AB的三等分點(diǎn)，可得∠AOD＝60°，再結(jié)合OA＝OD可得△AOD是等邊三角形，從而可以求得結(jié)果.
（1）∵∠CBF＝∠CFB
∴CB＝CF．
又∵AC＝CF， 
∴CB＝AF．
∴△ABF是直角三角形．
∴∠ABF＝90°． 
∴直線BF是⊙O的切線．   
（2）連接DO，EO．                

∵點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是弧AB的三等分點(diǎn)，
∴∠AOD＝60°．  
又∵OA＝OD， 
∴△AOD是等邊三角形，∠OAD＝60°，OA＝AD＝5．      
又∵∠ABF＝90°，AB=2OA=10， 
∴BF＝10．
點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.