Question

如圖，以正方形ABCD的AB邊為直徑作半圓O，過點C作直線切半圓于點E，交AD邊于點F，則

FE

EC

=

 

．

Answer 1

分析：連接OE、OF、OC，根據切線長定理證明∠COF=90°；根據切線的性質得OE⊥CF．則△EOF∽△EOC，得EF與EC的關系式，然后求解．

解答：解：連接OE、OF、OC．
∵AD、CF、CB都與⊙O相切，
∴CE=CB；OE⊥CF； OF平分∠AFC，OC平分∠BCF．
∵AF∥BC，
∴∠AFC+∠BCF=180°，
∴∠OFC+∠OCF=90°，
∴∠COF=90°．
∴△EOF∽△EOC，得 OE²=EF•EC．
設正方形邊長為a，則OE=

1

2

a，CE=a．
∴EF=

1

4

a．
∴

EF

EC

=

1

4

．
故答案為

1

4

．

點評：此題考查切線的性質和切線長定理及相似三角形的判定與性質，綜合性較強，有相當的難度．