Question

【題目】如圖，直線AB：y=﹣x+交坐標(biāo)軸于A、B兩點(diǎn)，直線AC與AB關(guān)于y軸對稱，交x軸于點(diǎn)C．點(diǎn)P、Q分別是線段BC、AC上兩個(gè)動點(diǎn)，且∠APQ始終等于30°．

（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)是（ ， ）；∠ABC= 度；

（2）若⊙O與AB相切，則⊙O的半徑等于 ；

（3）當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0）時(shí)，求CQ的長；

（4）當(dāng)△APQ為等腰三角形時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（8，0）；30；（2）4；（3）CQ的長為；（4）當(dāng)△APQ為等腰三角形時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，0）或（﹣，0）或（﹣8，0）．

【解析】

試題分析：（1）由B點(diǎn)是直線AB與x軸的交點(diǎn)，故令y=0，解出x的值即為B點(diǎn)的坐標(biāo)，A點(diǎn)是直線AB與y軸的交點(diǎn)，令x=0，可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，由三角函數(shù)的正弦值可得出∠ABC的值；（2）圓與直線相切，圓的半徑就等于圓心到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可得出結(jié)論；（3）由兩個(gè)等于30°的角和一個(gè)公共角可得出△CAP∽△PAQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可找出AQ的值，再由CQ=AC﹣AQ，即可得出結(jié)論；（4）若三角形為等腰三角形，只需兩條邊相等即可，在此分哪兩條邊相等來討論，即可得出結(jié)論．

解：（1）令y=0，則有0=﹣x+，

解得：x=8．

即點(diǎn)B的坐標(biāo)是（8，0）．

令x=0，則有y=，

即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，）．

∴AO=，BO=8，

∴tan∠ABO==，

∴∠ABO=30°．

故答案為：（8，0）；30．

（2）∵⊙O與AB相切，

∴⊙O的半徑為點(diǎn)O到直線AB的距離．

直線AB：y=﹣x+可變形為x+y﹣=0．

點(diǎn)O到直線AB的距離==4．

∴⊙O的半徑為4．

故答案為：4．

（3）∵直線AC與AB關(guān)于y軸對稱，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（﹣8，0），∠ACB=∠ABC=30°．

又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，0），

∴AO=，CO=8，AC==，PO=2，CP=CO﹣PO=6，AP==．

∵∠CAP=∠PAQ，∠ACP=∠APQ=30°，

∴△CAP∽△PAQ，

∴=，AQ==．

CQ=AC﹣AQ=．

故當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0）時(shí)，CQ的長為．

（4）△APQ為等腰三角形分三種情況：

①當(dāng)AQ=PQ時(shí)，如圖1，

∵∠APQ=30°，AQ=PQ，

∴∠PAQ=30°，

∵∠ACO=30°，∠CAO=90°﹣∠ACO=60°，

∴∠PAO=∠CAO﹣∠PAQ=30°．

∵AO⊥BC，

∴PO=AOtan∠PAO=，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，0）．

②當(dāng)AP=AQ時(shí)，如圖2，

此時(shí)P點(diǎn)與B點(diǎn)重合，Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，0）．

③當(dāng)AP=PQ時(shí)，如圖3，

∵∠APQ=30°，∠PAQ=∠PQA==75°，

∴∠CPA=180°﹣∠ACP﹣CAP=180°﹣30°﹣75°=75°，

∴∠CAP=∠CPA=75°，

∴CP=CA=，

OP=CP﹣CO=﹣8．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣8，0）．

綜上可知：當(dāng)△APQ為等腰三角形時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，0）或（﹣，0）或（﹣8，0）．