Question

如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=10．
（1）求矩形ABCD的周長(zhǎng)；
（2）E是CD上的點(diǎn)，將△ADE沿折痕AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上點(diǎn)F處．
①求DE的長(zhǎng)；
②點(diǎn)P是線段CB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，連接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的長(zhǎng)．
（3）M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，在DC 上存在點(diǎn)N，使△MDN沿折痕MN折疊，點(diǎn)D落在BC邊上點(diǎn)T處，求線段CT長(zhǎng)度的最大值與最小值之和．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)榫匦蔚膬山M對(duì)邊相等，所以周長(zhǎng)等于鄰邊之和的2倍；
（2）①四邊形ABCD是矩形，由折疊對(duì)稱的特點(diǎn)和勾股定理即可求出ED的長(zhǎng)；
②分若AP=AF；PF=AF以及AP=P三種情形分別討論求出滿足題意的PB的值即可；
（3）由題意可知當(dāng)點(diǎn)N與C重合時(shí)，CT取最大值是8，當(dāng)點(diǎn)M與A重合時(shí)，CT取最小值為4，進(jìn)而求出線段CT長(zhǎng)度的最大值與最小值之和．

解答：解：（1）周長(zhǎng)=2×（10+8）=36；
（2）①∵四邊形ABCD是矩形，
由折疊對(duì)稱性：AF=AD=10，F(xiàn)E=DE．
在Rt△ABF中，BF=6，
∴FC=4，
在Rt△ECF中，4²+（8-DE）²=EF²，
解得DE=5，
②分三種情形討論：
若AP=AF，
∵AB⊥PF，
∴PB=BF=6，
若PF=AF，則PB+6=10，
解得PB=4，
若AP=PF，在Rt△APB中，AP²=PB²+AB²，解得PB=

7

3

，
綜合得PB=6或4或

7

3

．
（3）當(dāng)點(diǎn)N與C重合時(shí)，CT取最大值是8，
當(dāng)點(diǎn)M與A重合時(shí)，CT取最小值為4，
所以線段CT長(zhǎng)度的最大值與最小值之和為：12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用以及圖形折疊的問題，題目綜合性很強(qiáng)，難度不�。�