【題目】[問題]如圖①，點
是
的角平分線
上一點，連接
，
，若
與
互補，則線段與有什么數(shù)量關系？
[探究]
探究一：如圖②，若
，則
，即
，
，又因為
平分，所以
，理由是：_______．
探究二：若
，請借助圖①，探究與的數(shù)量關系并說明理由．
[結論]點是的角平分線上一點，連接，，若與互補，則線段與的數(shù)量關系是______．
[拓展]已知：如圖③，在
中，
，
，平分．求證：
．
【答案】探究一：角的平分線上的點到角的兩邊距離相等；探究二：AD＝CD；理由見解析；[結論]：AD＝CD；[拓展]：見解析．
【解析】
探究一：根據(jù)角平分線的性質定理解答；
探究二：作
于
，作
交
的延長線于
，證明
，根據(jù)全等三角形的性質證明結論；
[理論] 根據(jù)探究結果得到答案；
[拓展]在
上取一點，使
，作
角的延長線于，
于
，證明
，得到
，根據(jù)等腰三角形的性質得到
，等量代換得到
，結合圖形證明結論．
解：探究一：
平分
，
，
，
，
理由是：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，
故答案為：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；
探究二：作于，作交的延長線于，
平分，
，，
，
，
，
，
在
和
中，
，
；
[理論] 綜上所述，點
是的角平分線
上一點，連接
，
，若
與
互補，則線段與的數(shù)量關系是
，
故答案為：；
[拓展] 在上取一點，使，作角的延長線于，于，
．
平分，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
在
和
中，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
．
寒假學與練系列答案科目：初中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是BC邊的中點，點P在線段AD上，過P作PF⊥AE于F，設PA=x．
（1）求證：△PFA∽△ABE；
（2）當點P在線段AD上運動時，設PA=x，是否存在實數(shù)x，使得以點P，F，E為頂點的三角形也與△ABE相似？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由；
（3）探究：當以D為圓心，DP為半徑的⊙D與線段AE只有一個公共點時，請直接寫出x滿足的條件： ．
備用圖
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某校舉辦了一次趣味數(shù)學競賽，滿分100分，學生得分均為整數(shù)，達到成績60分及以上為合格，達到90分及以上為優(yōu)秀，這次競賽中，甲乙兩組學生成績?nèi)缦拢捉M：30,60,60，60,60,60,70,90,90,100 ；乙組：50,60,60,60,70,70,70,70,80,90.
（1）以上成績統(tǒng)計分析表中a=______分，b=______分，c=_______分；
組別 | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 方差 | 合格率 | 優(yōu)秀率 |
甲組 | 68分 | a | 376 | 30% | |
乙組 | b | c | 90% |
（2）小亮同學說：這次競賽我得了70分，在我們小組中屬于中游略偏上，觀察上面表格判斷，小亮可能是甲乙哪個組的學生？并說明理由
（3）計算乙組的方差和優(yōu)秀率，如果你是該校數(shù)學競賽的教練員，現(xiàn)在需要你選一組同學代表學校參加復賽，你會選擇哪一組？并說明理由
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某賓館有50個房間供游客居住，當每個房間每天的定價為180元時，房間會全部住滿；當每個房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑．如果游客居住房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費用．
（1）若每個房間定價增加40元，則這個賓館這一天的利潤為多少元？
（2）若賓館某一天獲利10640元，則房價定為多少元？
（3）房價定為多少時，賓館的利潤最大？
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知：如圖，反比例函數(shù)y= 
的圖象與一次函數(shù)y=x+b的圖象交
于點A（1，4）、點B（-4，n）．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）求△OAB的面積；
（3）直接寫出一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的自變量x的取值范圍．
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】為加強中小學生安全和禁毒教育，某校組織了“防溺水、交通安全、禁毒”知識競賽，為獎勵在競賽中表現(xiàn)優(yōu)異的班級，學校準備從體育用品商場一次性購買若干個足球和籃球（每個足球的價格相同，每個籃球的價格相同），購買1個足球和1個籃球共需159元；足球單價是籃球單價的2倍少9元．
（1）求足球和籃球的單價各是多少元？
（2）根據(jù)學校實際情況，需一次性購買足球和籃球共20個，但要求購買足球和籃球的總費用不超過1550元，學校最多可以購買多少個足球？
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）圖象的頂點為D，其圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為﹣1，3．與y軸負半軸交于點C，在下面五個結論中：
①2a﹣b=0；②c=﹣3a；③當m≠1時，a+b＜am2+bm；
④若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，則x1+x2=2；
⑤使△ACB為等腰三角形的a值可以有三個．其中正確的結論是_________．（只填序號）
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】先閱讀下列一段文字，再解答問題：
已知在平面內(nèi)有兩點
，
，其兩點間的距離公式為
；同時，當兩點所在的直線在坐標軸上或平行于坐標軸或垂直于坐標軸時，兩點間距離公式可簡化為
或
.
（1）已知點A（2，4），B（-2，1），則AB=__________；
（2）已知點C，D在平行于y軸的直線上，點C的縱坐標為4，點D的縱坐標為-2，則CD=__________；
（3）已知點P（3，1）和（1）中的點A，B，判斷線段PA，PB，AB中哪兩條線段的長是相等的？并說明理由．
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=100°，在BC、CD上分別找一點M、N，當△AMN的周長最小時，∠AMN+∠ANM的度數(shù)是_____．
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