Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），OA=AC，∠OAC=90°，點(diǎn)D為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為邊在AD的右側(cè)作正方形ADEF．

（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段OC上時(shí)（不與點(diǎn)O、C重合），則線段CF與OD之間的關(guān)系為　 　；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段OC的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（t，0），當(dāng)D點(diǎn)從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，用含t的代數(shù)式表示E點(diǎn)坐標(biāo)，求出E點(diǎn)所滿足的函數(shù)關(guān)系式，并寫出E點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）相等； 垂直；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）E點(diǎn)坐標(biāo)為（t+1，t-1），；E點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為

【解析】

（1）連接CF，通過(guò)同角的余角相等可得∠OAD=∠CAF，由正方形性質(zhì)可得AD=AF，再由已知OA=OC易證得兩三角形全等，而OD=CF；由△ODA≌△CFA，所以∠FCA=∠DOA，即∠FCO=∠FCA+∠ACO=∠DOA+∠ACO，得到∠FCO=90°；
（2）按題目要求構(gòu)造正方形ADEF，連接CF，利用（1）的方法證明，結(jié)論易得；
（3）分為t＜1，t=1，t＞1三種情況討論．分別討論利用全等三角形的判定和性質(zhì)易得結(jié)論．根據(jù)點(diǎn)E的坐標(biāo)可以分析出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，即可求解．

（1）連接CF，如圖：

∵∠OAC=90°，∠DAF=90°，
∴∠OAC=∠DAF，
∴∠OAD=∠OAC-∠CAD=∠DAF-∠CAD=∠CAF，
在△OAD和△CAF中，

，

∴△OAD≌△CAF，
∴OD=CF，∠AOD=∠ACF，
∴∠OCF=∠OCA+∠ACF=∠OCA+∠AOC，
在Rt△OAC中，
∵∠OCA+∠AOC=90°，
∴∠OCF=90°，
∴OD⊥CF，
故答案：相等； 垂直；

（2）結(jié)論依然成立，即OD=CF，OD⊥CF，理由如下：

如圖，連接CF．
∵∠OAC=90°，∠DAF=90°，
∴∠OAC=∠DAF，
∴∠OAD=∠OAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD=∠CAF，
在△OAD和△CAF中，

，

∴△OAD≌△CAF，
∴OD=CF，∠AOD=∠ACF，
∴∠OCF=∠OCA+∠ACF=∠OCA+∠AOC，
在Rt△OAC中，
∵∠OCA+∠AOC=90°，
∴∠OCF=90°，
∴OD⊥CF；

（3）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥x軸于G，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸于H，
∵OA=CA，且∠OAC=90°，
∴OG=CG=AG，
∵A的坐標(biāo)為（1，1），
∴OG=AG=1，OC=2，
當(dāng)D在線段OG上，如圖，此時(shí)t＜1，則DG=1-t，

∵∠DAG+∠ADG=90°，∠ADG+∠HDE=90°，
∴∠DAG=∠HDE，
在△ADG和△DEH中，

，

∴△ADG≌△DEH，
∵OD= t，
∴HE=DG=1-t，DH=AG=1，
∴OH=OD+DH=t+1，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（t+1，-（1-t）），即（t+1，t-1）；
當(dāng)D與G點(diǎn)重合，E點(diǎn)與C點(diǎn)重合，即E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），

此時(shí)t=1，所以E點(diǎn)坐標(biāo)也為（t+1，t-1）；
當(dāng)D在線段GC上，如圖，此時(shí)t＞1，則DG=t-1，

∵∠ADE=90°，
∴∠ADG+∠EDH=90°，

∵∠DAG+∠ADG=90°，
∴∠DAG=∠EDH，
在△ADG和△DEH中，

，

∴△ADG≌△DEH，

∵OD= t，
∴HE=DG=t-1，DH=AG=1，
∴OH=OD+DH=t+1，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（t+1，t-1），
綜上所述，E點(diǎn)坐標(biāo)為（t+1，t-1），；

當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，-1），

當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，1），

猜想點(diǎn)E在線段上運(yùn)動(dòng)，

設(shè)直線的解析式為，

把（1，-1），（3，1）代入得：，

解得：，

∴，

∵點(diǎn)E（t+1，t-1）在上，且，

∴點(diǎn)E在線段上運(yùn)動(dòng)，猜想正確，

∴E點(diǎn)由（1，-1）直線運(yùn)動(dòng)到（3，1），

∴線段，

∴E點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．