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        1. 【題目】“魅力數(shù)學(xué)”社團(tuán)活動(dòng)時(shí),張老師出示了如下問題:

          如圖,已知四邊形ABCD中,AC平分∠DAB,∠DAB=120°,∠B與D互補(bǔ),試探究線段AB,AD,AC之間的數(shù)量關(guān)系;

          小敏反復(fù)探索,不得其解,張老師提示道:“數(shù)學(xué)中常通過把一個(gè)問題特殊化來找到解題思路”,于是,小敏想,若將四邊形ABCD特殊化,看如何解決問題:

          (1)特殊情況入手

          添加條件:“∠B=∠D”,如圖易知在Rt△CDA中,DCA=30°,所以,寫出邊AD與AC之間的數(shù)量關(guān)系,同理可得AB與AC的數(shù)量關(guān)系,由此得AB,AD,AC之間的數(shù)量關(guān)系;

          (2)解決原來問題

          受到(1)的啟發(fā),在原問題上,添加輔助線,過點(diǎn)C分別作AB,AD的垂線,垂足分別為E、F,如圖,請(qǐng)寫出探究過程;

          (3)解后反思

          “一題多解”是數(shù)學(xué)解題的魅力之一,小敏在張老師的引導(dǎo)下,受探究結(jié)論的啟發(fā),結(jié)合圖中的60°角,通過構(gòu)造等邊三角形,利用三角形全等同樣解決了該問題,請(qǐng)?jiān)趫D中作出輔助線,并簡(jiǎn)述你的探究過程.

          【答案】(1)AD=AC,AD+AB=AC;(2)AB+AD=AC,探究過程見解析;(3)AC= AB+AD.探究過程見解析.

          【解析】

          (1)根據(jù)∠B+D=180°且∠B=D知∠B=D=90°,由AC平分∠DAB,DAB=120°知∠DAC=BAC=60°,利用直角三角形30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半求解可得;

          (2)先證CDF≌△CBEDF=BE,據(jù)此得AB+AD=AE+BE+AD=AE+DF+AD=AE+AF=AC;

          (3)延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E,使得AE=AC,據(jù)此可得ACE為等邊三角形,進(jìn)一步知AC=EC,DAC=E=60°,證ADC≌△EBCAD=EB,進(jìn)一步求解可得.

          (1)∵∠B+D=180°,且∠B=D,

          ∴∠B=D=90°,

          又∵AC平分∠DAB,DAB=120°,

          ∴∠DAC=BAC=60°,

          ∴∠ACD=ACB=30°,

          AD=AC,AB=AC,

          AD+AB=AC+AC=AC,

          (2)AC為∠DAB的平分線,CFAD,CEAB,

          CF=CE.

          ∵∠B與∠ADC互補(bǔ),∠ADC與∠CDF互補(bǔ),

          ∴∠CDF=B.

          又∵∠F=CEB=90°,

          ∴△CDF≌△CBE(AAS),

          DF=BE.

          AB+AD

          =AE+BE+AD

          =AE+DF+AD

          =AE+AF

          =AC,

          AB+AD=AC.

          (3)如圖,延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E,使得AE=AC.

          ∵∠CAB=BAD=60°,

          ∴△ACE為等邊三角形.

          AC=EC,DAC=E=60°.

          又∵∠ABC與∠D互補(bǔ),

          ∴∠D=CBE.

          ∴△ADC≌△EBC(AAS),

          AD=EB.

          AC=AE=AB+EB=AB+AD.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知:如圖,反比例函數(shù)y=的圖象上的一點(diǎn)A(m,n)在第一象限內(nèi),點(diǎn)B在x軸的正半軸上,且AB=AO,過點(diǎn)B作BCx軸,與線段OA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)C,與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)D.

          (1)用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)D的坐標(biāo);

          (2)求證:CD=3BD;

          (3)聯(lián)結(jié)AD、OD,試求ABD的面積與AOD的面積的比值.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,一次函數(shù)y=﹣2x的圖象與二次函數(shù)y=﹣x2+3x圖象的對(duì)稱軸交于點(diǎn)B.

          (1)寫出點(diǎn)B的坐標(biāo);
          (2)已知點(diǎn)P是二次函數(shù)y=﹣x2+3x圖象在y軸右側(cè)部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),將直線y=﹣2x沿y軸向上平移,分別交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn).若以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】為了解某市九年級(jí)學(xué)生學(xué)業(yè)考試體育成績(jī),現(xiàn)從中隨機(jī)抽取部分學(xué)生的體育成績(jī)進(jìn)行分段統(tǒng)計(jì)如下:

          學(xué)業(yè)考試體育成績(jī)(分?jǐn)?shù)段)統(tǒng)計(jì)表

          分?jǐn)?shù)段

          人數(shù)(人)

          頻率

          A

          48

          0.2

          B

          a

          0.25

          C

          84

          0.35

          D

          36

          b

          E

          12

          0.05

          分?jǐn)?shù)段為:(A:50分;B:49﹣45分;C:44﹣40分;D:39﹣30分;E:29﹣0分)

          根據(jù)上面提供的信息,回答下列問題:
          (1)在統(tǒng)計(jì)表中,a的值為 , b的值為 ,
          (2)將統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整(溫馨提示:作圖時(shí)別忘了用0.5毫米及以上的黑色簽字筆涂黑);
          (3)甲同學(xué)說:“我的體育成績(jī)是此次抽樣調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù).”請(qǐng)問:甲同學(xué)的體育成績(jī)應(yīng)在什么分?jǐn)?shù)段內(nèi)?(填相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的字母)
          (4)如果把成績(jī)?cè)?0分以上(含40分)定為優(yōu)秀,那么該市今年10440名九年級(jí)學(xué)生中體育成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)約有多少名?

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】(本題8分)如圖,在五邊形ABCDE中,BCD=EDC=90°,BC=ED,AC=AD

          (1)求證:ABC≌△AED;

          (2)當(dāng)B=140°時(shí),求BAE的度數(shù)

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】某學(xué)校為了解八年級(jí)學(xué)生的體能狀況,從八年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行八百米跑體能測(cè)試,測(cè)試結(jié)果分為A、B、C、D四個(gè)等級(jí),請(qǐng)根據(jù)兩幅統(tǒng)計(jì)圖中的信息回答下列問題:

          (1)求本次測(cè)試共調(diào)查了多少名學(xué)生?

          (2)求本次測(cè)試結(jié)果為B等級(jí)的學(xué)生數(shù),并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

          (3)請(qǐng)你計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中八年級(jí)學(xué)生體能測(cè)試結(jié)果為D等級(jí)的扇形圓心角的度數(shù).

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,∠E=50°,BAC=50°,D=110°,求∠ABD的度數(shù).

          請(qǐng)完善解答過程,并在括號(hào)內(nèi)填寫相應(yīng)的理論依據(jù).

          解:∵∠E=50°,BAC=50°,(已知)

          ∴∠E=   (等量代換)

                .(   

          ∴∠ABD+D=180°.(   

          ∴∠D=110°,(已知)

          ∴∠ABD=70°.(等式的性質(zhì))

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作⊙O的切線,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.已知OA=3,AE=2,
          (1)求CD的長(zhǎng);
          (2)求BF的長(zhǎng).

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn),將一直角三角板OMN的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處.射線OC平分∠MOB.

          (1)如圖1,若∠AOM=30°,求∠CON的度數(shù);

          (2)在圖1中,若∠AOM=a,直接寫出∠CON的度數(shù)(用含a的代數(shù)式表示);

          (3)將圖1中的直角三角板OMN繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置,一邊OM在射線OB上方,另一邊ON在直線AB的下方.

          ①探究∠AOM和∠CON的度數(shù)之間的關(guān)系,寫出你的結(jié)論,并說明理由;

          ②當(dāng)∠AOC=3∠BON時(shí),求∠AOM的度數(shù).

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          同步練習(xí)冊(cè)答案