Question

【題目】如圖，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)與點(diǎn)分別位于直線(xiàn)的兩側(cè)，且，連接，交直線(xiàn)于點(diǎn)．

（1）當(dāng)時(shí)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；

（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，直線(xiàn)交于點(diǎn)，

①當(dāng)時(shí)，設(shè)（其中表示的面積，表示的面積），求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出的取值范圍；

②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）線(xiàn)段的長(zhǎng)是；（2）①；②AE=1或．

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，設(shè)，則，根據(jù)BG=EG構(gòu)建方程求出x即可得出答案；

（2）①證明△AEF∽△BEC，可得，由此構(gòu)建關(guān)系式即可解決問(wèn)題．

②分兩種情形：當(dāng)∠CAD＜120°時(shí)，當(dāng)120°＜∠CAD＜180°時(shí)，分別得出方程求解即可解決問(wèn)題．

解：（1）∵是等邊三角形，且，

∴，，

過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，

設(shè)，則，

在中，，

∴，

∴，

在中，，

∴，

解得：，

∴線(xiàn)段的長(zhǎng)是；

（2）①當(dāng)∠CAD＜120°時(shí)，

設(shè)∠ABD=，則∠BDA=,∠DAC=∠BAD-∠BAC=120°-2，

∵AD=AC，AH⊥CD，

∴∠CAF=∠DAC=60°-，

∵∠AEF=60°+，

∴∠AFE=60°，

∴∠AFE=∠ACB，

∵∠AEF=∠BEC，

∴△AEF∽△BEC

∴，

由（1）得在中，，

∴，

∴，

②

，則有，

整理，得3x2+x-2=0

解得x=或-1（舍去）

∴AE=

當(dāng)120°＜∠CAD＜180°時(shí)，

同理可得，

當(dāng)時(shí)，則有，

整理，得3x2-x-2=0

解得x=-（舍去）或1，

∴AE=1

綜上所述，AE=1或．