Question

【題目】如圖所示，在等邊三角形ABC中，BC=8cm，射線(xiàn)AG∥BC，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射線(xiàn)AG以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿射線(xiàn)BC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．

（1）連接EF，當(dāng)EF經(jīng)過(guò)AC邊的中點(diǎn)D時(shí)，求證：四邊形AFCE是平行四邊形；

（2）填空：①當(dāng)t為　　s時(shí)，四邊形ACFE是菱形；

②當(dāng)t為　　s時(shí)，△ACE的面積是△ACF的面積的2倍．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①8；②或．

【解析】

（1）判斷出△ADE≌△CDF得出AE＝CF，即可得出結(jié)論；

（2）①先求出AC＝BC＝8，進(jìn)而判斷出AE＝CF＝AC＝8，即可得出結(jié)論；

②先判斷出△ACE和△ACF的邊AE和CF上的高相等，進(jìn)而判斷出AE＝2CF，再分兩種情況，建立方程求解即可得出結(jié)論．

解：（1）如圖1．

∵AG∥BC，

∴∠EAC=∠FCA，∠AED=∠CFD．

∵EF經(jīng)過(guò)AC邊的中點(diǎn)D，

∴AD=CD，

∴△ADE≌△CDF（AAS），

∴AE=CF．

∵AE∥FC，

∴四邊形AFCE是平行四邊形；

（2）①如圖2．

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=BC=8．

∵四邊形ACFE是菱形，

∴AE=CF=AC=BC=8，且點(diǎn)F在BC延長(zhǎng)線(xiàn)上，由運(yùn)動(dòng)知，AE=t，BF=2t，

∴CF=2t﹣8，t=8，將t=8代入CF=2t﹣8中，

得CF=8=AC=AE，符合題意，即：t=8秒時(shí)，四邊形ACFE是菱形．

故答案為：8；

②設(shè)平行線(xiàn)AG與BC的距離為h，

∴△ACE邊AE上的高為h，△ACF的邊CF上的高為h．

∵△ACE的面積是△ACF的面積的2倍，

∴AE=2CF，當(dāng)點(diǎn)F在線(xiàn)段BC上時(shí)（0＜t＜4），CF=8﹣2t，AE=t，

∴t=2（8﹣2t），

∴

當(dāng)點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)（t＞4），CF=2t﹣8，AE=t，

∴t=2（2t﹣8），

∴

即：t=秒或秒時(shí)，△ACE的面積是△ACF的面積的2倍．

故答案為：或．