Question

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩點(diǎn)A（-2，0），B（

1

2

，0），CB所在直線為y=2x+b，
（1）求b與C的坐標(biāo)；
（2）連接AC，求證：△AOC∽△COB；
（3）求過A，B，C三點(diǎn)且對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線解析式；
（4）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P（不與C重合），使得S_△ABP=S_△ABC？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）以B（

1

2

，0）代入y=2x+b，2×

1

2

+b=0，（2分）
得：b=-1則有C（0，-1）．（3分）

（2）∵OC⊥AB，且

|OB|

|OC|

=

|OC|

|OA|

=

1

2

，（5分）
∴△AOC∽△COB．（6分）

（3）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，以三點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式得方程組：

(- 1 2 )2a+ 1 2 b+c=0 (-2)2a+(-2)b+c=0 c=-1

?

a=1 b= 3 2 c=-1

，（8分）
所以y=x²+

3

2

x-1．（9分）

（4）假設(shè)存在點(diǎn)P（x，y）
依題意有

S△ABP

S△ABC

=

1 2 |AB|•|y|

1 2 |AB|•|OC|

=1，
得：|y|=|OC|=1．（10分）
①當(dāng)y=1時(shí)，有x²+

3

2

x-1=1
即x²+

3

2

x-2=0，
解得：x1=

-3+ 41

4

，x2=

-3- 41

4

（11分）
②當(dāng)y=-1時(shí)，有x²+

3

2

x-1=-1，
即x²+

3

2

x=0，
解得：x₃=0（舍去），x4=-

3

2

．
∴存在滿足條件的點(diǎn)P，它的坐標(biāo)為：(-

3

2

，-1)，(

-3+ 41

4

，1)，(

-3- 41

4

，1)．（12分）