Question

提出問(wèn)題：小明是個(gè)愛(ài)思考的學(xué)生，在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)后小明發(fā)現(xiàn)：
sin90°=1，sin45°=

2

2

，90°是45°的兩倍，但三角函數(shù)值卻是

2

倍；
sin30°=

 

，sin60°=

 

，60°是30°的兩倍，但三角函數(shù)值卻是

 

倍，
考慮到cos45°，cos30°的三角函數(shù)值，估計(jì)sin2α=2sinαcosα，代入檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)以上兩組角度都符合．
解決問(wèn)題：那么如何證明sin2α=2sinαcosα呢？
小明思考再三，發(fā)現(xiàn)在△ABC中（圖2），高AD=ABsinB，可得S△ABC=

1

2

BC•ABsinB，
利用這個(gè)結(jié)論證明上述命題結(jié)論．聰明的你也能解決這個(gè)問(wèn)題嗎？
如圖2，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，設(shè)∠BAD=α，求證：sin2α=2sinαcosα．
推廣應(yīng)用：解決了以上問(wèn)題后，小明思考再三，終于發(fā)現(xiàn)了sin（α+β）與sinα，cosα，sinβ，cosβ的關(guān)系，
你能結(jié)合圖3證明出自己所猜想的sin（α+β）與sinα，cosα，sinβ，cosβ的關(guān)系嗎？
并利用上述關(guān)系求出sin75°的值（保留根號(hào)）．

Answer 1

分析：把30°，60°的正弦值代入并計(jì)算即可填空；
解決問(wèn)題：根據(jù)題目信息，利用角2α與α表示△ABC的面積，S_△ABC=2S_△ABD，然后整理，再根據(jù)余弦定義，余弦=鄰邊：斜邊，進(jìn)行代換即可證明；
推廣應(yīng)用：證明思路與解決問(wèn)題相同，利用角α與β表示△ABD的面積，S_△ABD=S_△ABC+S_△ACD，然后整理，再根據(jù)余弦定義，余弦=鄰邊：斜邊，進(jìn)行代換即可證明，把75°分成30°與45°的和，然后把特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算即可．

解答：提出問(wèn)題：
sin30°=

1

2

，sin60°=

3

2

，60°是30°的兩倍，但三角函數(shù)值卻是

3

倍；（3分）

解決問(wèn)題：如圖2，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，設(shè)∠BAD=α．
求證：sin2α=2sinαcosα，
證明：根據(jù)題目信息，S_△ABC=

1

2

AB•ACsin2α，S_△ABD=

1

2

AB•ADsinα，
∵AB=AC，AD⊥BC于D，
∴S_△ABC=2S_△ABD，
∴

1

2

AB•ACsin2α=2×

1

2

AB•ADsinα，
即sin2α=2sinα×

AD

AC

，
在Rt△ADC中，

AD

AC

=cosα，
∴sin2α=2sinαcosα；（3分）

推廣應(yīng)用：結(jié)論：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，（1分）
證明：S_△ABD=

1

2

AB•ADsin（α+β），S_△ABC=

1

2

AB•ACsinα，S_△ACD=

1

2

AC•ADsinβ，
∵S_△ABD=S_△ABC+S_△ACD，
∴

1

2

AB•ADsin（α+β）=

1

2

AB•ACsinα+

1

2

AC•ADsinβ，
即sin（α+β）=sinα×

AC

AD

+sinβ×

AC

AB

，
在Rt△ACD中，

AC

AD

=cosβ，
在Rt△ABC中，

AC

AB

=cosα，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；
并利用上述關(guān)系求出sin75°的值（保留根號(hào)）．
sin75°=sin30°cos45°+cos30°sin45°=

1

2

×

2

2

+

3

2

×

2

2

=

2 +  6

4

．（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)題目提供信息考查了解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值，讀懂題目信息并根據(jù)信息表示出三角形的面積是解題的關(guān)鍵．