Question

【題目】如圖，已 知直線交坐標(biāo)軸于兩點(diǎn)，以線段為邊向上作正方形，過(guò)點(diǎn)的拋物線與直線另一個(gè)交點(diǎn)為．

（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式；

（3）若正方形以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線下滑，直至頂點(diǎn)落在x軸上時(shí)停止．設(shè)正方形落在軸下方部分的面積為，求關(guān)于滑行時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量的取值范圍；

（4）在（3）的條件下，拋物線與正方形一起平移，同時(shí)停止，求拋物線上兩點(diǎn)間的拋物線弧所掃過(guò)的面積．

Answer 1

【答案】（1）C（3，2）D（1，3）；

（2）y=-x2+x+1

（3）當(dāng)0<t≤1時(shí)，S△FB′G=FB′×GB′=t=t2

當(dāng)1<t≤2時(shí)，S梯形A′B′HG =t-；

2<t≤3時(shí)，S五邊形GA′B′C′H=-t2+t-

（4）15.

【解析】

（1）可先根據(jù)AB所在直線的解析式求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出OA、OB的長(zhǎng)．過(guò)D作DM⊥y軸于M，則△ADM≌△BAO，由此可得出MD、MA的長(zhǎng)，也就能求出D的坐標(biāo)，同理可求出C的坐標(biāo)；
（2）可根據(jù)A、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（3）要分三種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)F點(diǎn)在A′B′之間時(shí)，即當(dāng)0<t≤1時(shí)，此時(shí)S為三角形FBG的面積，可用正方形的速度求出AB′的長(zhǎng)，即可求出B′F的長(zhǎng)，然后根據(jù)∠GFB′的正切值求出B′G的長(zhǎng)，即可得出關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式．
②當(dāng)A′在x軸下方，但C′在x軸上方或x軸上時(shí)，即當(dāng)1<t≤2時(shí)，S為梯形A′GB′H的面積，可參照①的方法求出A′G和B′H的長(zhǎng)，那么梯形的上下底就可求出，梯形的高為A′B′即正方形的邊長(zhǎng)，可根據(jù)梯形的面積計(jì)算公式得出關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式．
③當(dāng)D′逐漸移動(dòng)到x軸的過(guò)程中，即當(dāng)2<t≤3時(shí)，此時(shí)S為五邊形A′B′C′HG的面積，S=正方形A′B′C′D′的面積-三角形GHD′的面積．可據(jù)此來(lái)列關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）CE掃過(guò)的圖形是個(gè)平行四邊形，經(jīng)過(guò)關(guān)系不難發(fā)現(xiàn)這個(gè)平行四邊形的面積實(shí)際上就是矩形BCD′A′的面積．可通過(guò)求矩形的面積來(lái)求出CE掃過(guò)的面積．

（1）C（3，2）D（1，3）；

（2）設(shè)拋物線為y=ax2+bx+c，拋物線過(guò)（0，1）（3，2）（1，3），

解得

y=-x2+x+1
（3）①當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，t=1，
當(dāng)0<t≤1時(shí)，如圖1，

∵∠OFA=∠GFB′，
tan∠OFA==
∴tan∠GFB′===
∴GB′=
∴S△FB′G=FB′×GB′=t=t2

②當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，t=2，
當(dāng)1<t≤2時(shí)，如圖2，
A′B′=AB==

，
∴A′G=
∵B′H=
∴S梯形A′B′HG=（A′G+B′H）×A′B′= (+)×=t-；
③當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，t=3，
當(dāng)2<t≤3時(shí)，如圖3，
∵A′G=

∴GD′=-=，
∵S△AOF=×1×2=1，OA=1，△AOF∽△GD′H
∴=（）2
∴S△GD′H=()2，
∴S五邊形GA′B′C′H=（）2-（)2=-t2+t-；

（4）∵t=3，BB′=AA′=3，
∴S陰影=S矩形BB′C′C=S矩形AA′D′D
=AD×AA′=×3=15．