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        1. 【題目】1)如圖1,將直角的頂點E放在正方形ABCD的對角線AC上,使角的一邊交CD于點F,另一邊交CB或其延長線于點G,求證:EF=EG

          2)如圖2,將(1)中的正方形ABCD”改成矩形ABCD”,其他條件不變.若AB=m,BC=n,試求的值;

          3)如圖3,將直角頂點E放在矩形ABCD的對角線交點,EF、EG分別交CDCB于點FG,且EC平分FEG.若AB=2,BC=4,求EG、EF的長.

          考點:四邊形綜合題.

          【答案】

          【解析】

          試題分析:1)首先過點E分別作BC、CD的垂線,垂足分別為H、P,然后利用ASA證得RtFEPRtGEH,則問題得證;

          2)首先過點E分別作BC、CD的垂線,垂足分別為M、N,易證得EMAB,ENAD,則可證得CEN∽△CAD,CEM∽△CAB,又由有兩角對應(yīng)相等的三角形相似,證得GME∽△FNE,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例,即可求得答案;

          3)過點EEMBCM,過點EENCDN,垂足分別為M、N,過點CCPEGEG的延長線于點P,過點CCQEF垂足為Q,可得四邊形EPCQ是矩形,四邊形EMCN是矩形,可得EC平分FEG,可得矩形EPCQ是正方形,然后易證PCG≌△QCFAAS),進(jìn)而可得:CG=CF,由(2)知:==2,進(jìn)而可得:EF=2EG,然后易證EMEN分別是ABCBCD的中位線,進(jìn)而可得:EM=1,EN=2,MC=2,CN=1,然后易證EMG∽△ENF,進(jìn)而可得,即NF=2MG,然后設(shè)MG=x,根據(jù)CG=CF,列出方程即可解出x的值,即MG的值,然后在RtEMG中,由勾股定理即可求出EG的值,進(jìn)而可得EF的值.

          1)證明:如圖1,過點EEHBCH,過點EEPCDP,

          四邊形ABCD為正方形,

          CE平分BCD,

          EHBC,EPCD,

          EH=EP

          四邊形EHCP是正方形,

          ∴∠HEP=90°

          ∵∠GEH+HEF=90°,PEF+HEF=90°,

          ∴∠PEF=GEH,

          RtFEPRtGEH,

          EF=EG

          2)解:如圖2,過點EEMBCM,過點EENCDN,垂足分別為MN,

          MEN=90°

          EMAB,ENAD

          ∴△CEN∽△CAD,CEM∽△CAB

          ,

          ,

          ;

          3)解:如圖3,

          過點EEMBCM,過點EENCDN,垂足分別為M、N,

          過點CCPEGEG的延長線于點P,過點CCQEF垂足為Q,

          則四邊形EPCQ是矩形,四邊形EMCN是矩形,

          EC平分FEG,

          CQ=CP

          矩形EPCQ是正方形,

          ∴∠QCP=90°,

          ∴∠QCG+PCG=90°

          ∵∠QCG+QCF=90°,

          ∴∠PCG=QCF,

          PCGQCF中,

          ∴△PCG≌△QCFAAS),

          CG=CF

          由(2)知:=

          BC=4,AB=2,

          ==2,

          EF=2EG,

          E放在矩形ABCD的對角線交點,

          EMEN分別是ABCBCD的中位線,

          EM=AB=1,EN=AD==2,MC=,CN=,

          四邊形EMCN是矩形,

          ∴∠NEM=90°,

          ∴∠MEG+GEN=90°,

          ∵∠GEF=90°,

          ∴∠FEN+GEN=90°

          ∴∠MEG=FEN,

          ∵∠EMG=FNE=90°,

          ∴△EMG∽△ENF,

          NF=2MG,

          設(shè)MG=x,則NF=2x,CG=2﹣x,CF=1+2x

          CG=CF,

          2﹣x=1+2x,

          解得:x=

          MG=

          RtEMG中,由勾股定理得:

          EG==,

          EF=2EG,

          EF=

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