Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x²+mx+n（m、n是常數(shù)）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線的方程是y=x+2．
（1）求已知拋物線的解析式；
（2）將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C′，求點(diǎn)C′的坐標(biāo)；
（3）P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P在拋物線上從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，求P點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍．
（參考公式：拋物線y=ax²+bx+c（其中a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-，））

Answer 1

解：（1）依題意B（-2，0）、C（0，2），
∵B、C在拋物線y=-x²+mx+n上，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y=-x²-x+2；

（2）∵拋物線y=-x²+mx+n（m、n是常數(shù)）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴y=-x²-x+2=0，
解得：x=1或x=-2，
∴A的坐標(biāo)為（1，0），
∵將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C′，
∴C′（3，1）；

（3）∵y=-x²-x+2=-（x+）²+，
∴此拋物線的頂點(diǎn)為：，
∵B（-2，0）、C（0，2）且-2＜-＜0，
∴知?jiǎng)狱c(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)，
又y_B=0，y_C=2，y_B＜y_C，
∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍：0≤y_p≤．
分析：（1）首先根據(jù)題意求得B與C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法將點(diǎn)B與C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求得m與n的值，則可求得此拋物線的解析式；
（2）由（1）即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，又由將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C′，即可求得點(diǎn)C′的坐標(biāo)；
（3）首先由拋物線的解析式求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，又由B（-2，0）、C（0，2）且-2＜-＜0，即可知?jiǎng)狱c(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)，即可求得P點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，以及三角形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．