Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+4與x軸交于B點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，⊙O₁與x軸交于原點(diǎn)O和點(diǎn)A，又點(diǎn)O₁（2，0），E （0，b）且0＜b＜4，如圖所示．
（1）求點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和O₁B的長(zhǎng)；
（2）點(diǎn)E在線段OC上移動(dòng)時(shí)，直線BE與⊙O₁有哪幾種位置關(guān)系，并求出每種位置時(shí)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由直線y=2x+4與x軸交于B點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，可求B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，⊙O₁與x軸交于原點(diǎn)O和點(diǎn)A，已知點(diǎn)O₁（2，0），可求A點(diǎn)坐標(biāo)及O₁B的長(zhǎng)；
（2）點(diǎn)E在線段OC上移動(dòng)時(shí)，0＜b＜4；先求出直線BE與⊙O₁相切時(shí)b的值，再分別求出直線BE與⊙O′相交、相切、相離時(shí)，b的取值范圍．

解答：解：（1）由直線y=2x+4，令y=0得x=-2，令x=0得y=4，故B（-2，0）、C（0，4），
由⊙O₁與x軸交于原點(diǎn)O和點(diǎn)A，已知點(diǎn)O₁（2，0），故OA=4，
∴A（4，0），O₁B=2+2=4；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在OC上移動(dòng)時(shí)，直線BE與⊙O′有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離．
若BE與⊙O₁相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為F，連接O₁F．則O₁F⊥BE，
于是在Rt△BFO₁中，O₁B=4，O₁F=2，所以∠FBO₁=30°；
在Rt△BOE中，BO=2；
OE=2BE，所以O(shè)E=

2

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3

；
故當(dāng)0＜b＜

2

3

3

時(shí)，直線BE與⊙O₁相交；
當(dāng)b=

2

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時(shí)，直線BE與⊙O₁相切；
當(dāng)

2

3

3

＜b＜4時(shí)，直線BE與⊙O₁相離．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了已知直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，坐標(biāo)系中直線與圓的三種位置關(guān)系所對(duì)應(yīng)的直線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系．