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        1. (2013•武漢模擬)如圖,在邊長(zhǎng)為1的等邊△OAB中,以邊AB為直徑作⊙D,以O(shè)為圓心OA長(zhǎng)為半徑作圓O,C為半圓AB上不與A、B重合的一動(dòng)點(diǎn),射線AC交⊙O于點(diǎn)E,BC=a,AC=b.
          (1)求證:AE=b+
          3
          a;
          (2)求a+b的最大值;
          (3)若m是關(guān)于x的方程:x2+
          3
          ax=b2+
          3
          ab的一個(gè)根,求m的取值范圍.
          分析:(1)首先連接BE,由△OAB為等邊三角形,可得∠AOB=60°,又由圓周角定理,可求得∠E的度數(shù),又由AB為⊙D的直徑,可求得CE的長(zhǎng),繼而求得AE=b+
          3
          a;
          (2)首先過點(diǎn)C作CH⊥AB于H,在Rt△ABC中,BC=a,AC=b,AB=1,可得(a+b) 2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2,即可求得答案;
          (3)由x2+
          3
          ax=b2+
          3
          ab,可得(x-b)(x+b+
          3
          a)=0,則可求得x的值,繼而可求得m的取值范圍.
          解答:解:(1)連接BE,
          ∵△OAB為等邊三角形,
          ∴∠AOB=60°,
          ∴∠AEB=30°,
          ∵AB為直徑,
          ∴∠ACB=∠BCE=90°,
          ∵BC=a,
          ∴BE=2a,CE=
          3
          a,
          ∵AC=b,
          ∴AE=b+
          3
          a;         

          (2)過點(diǎn)C作CH⊥AB于H,在Rt△ABC中,BC=a,AC=b,AB=1,
          ∴a2+b2=1,
          ∵S△ABC=
          1
          2
          AC•BC=
          1
          2
          AB•CH,
          ∴AC•BC=AB•CH,
          ∴(a+b) 2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2,
          ∴a+b≤
          2
          ,
          故a+b的最大值為
          2
          ,

          (3)∵x2+
          3
          ax=b2+
          3
          ab,
          ∴x2-b2+
          3
          ax-
          3
          ab=0,
          ∴(x+b)(x-b)+
          3
          a(x-b)=0,
          ∴(x-b)(x+b+
          3
          a)=0,
          ∴x=b或x=-(b+
          3
          a),
          當(dāng)m=b時(shí),m=b=AC<AB=1,
          ∴0<m<1,
          當(dāng)m=-(b+
          3
          a)時(shí),由(1)知AE=-m,
          又∵AB<AE≤2AO=2,
          ∴1<-m≤2,
          ∴-2≤m<-1,
          ∴m的取值范圍為0<m<1或-2≤m<-1.
          點(diǎn)評(píng):此題考查了圓周角定理、等邊三角形的性質(zhì)、完全平方公式的應(yīng)用以及一元二次方程的解法.此題難度較大,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          m+n
          n
          m+n
          n
          (用含有m、n的代數(shù)式表示)

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          (2013•武漢模擬)化簡(jiǎn):(
          a
          a-b
          -
          b2
          a2-ab
          )÷
          a2+2ab+b2
          a
          ,當(dāng)b=-2時(shí),請(qǐng)你為a選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)闹挡⒋肭笾担?/div>

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          5
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          25°
          25°

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