Question

【題目】如圖，在直角體系中，直線AB交x軸于點(diǎn)A（5，0），交y軸于點(diǎn)B，AO是⊙M的直徑，其半圓交AB于點(diǎn)C，且AC=3。取BO的中點(diǎn)D，連接CD、MD和OC。

（1）求證：CD是⊙M的切線；

（2）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D、M、A，其對稱軸上有一動點(diǎn)P，連接PD、PM，求△PDM的周長最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)△PDM的周長最小時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】解：（1）證明：連接CM，

∵OA 為⊙M直徑，∴∠OCA=90°。∴∠OCB=90°。

∵D為OB中點(diǎn)，∴DC=DO。∴∠DCO=∠DOC。

∵MO=MC，∴∠MCO=∠MOC。

∴。

又∵點(diǎn)C在⊙M上，∴DC是⊙M的切線。

（2）∵A點(diǎn)坐標(biāo)（5，0），AC=3

∴在Rt△ACO中，。

∴，∴，解得 。

又∵D為OB中點(diǎn)，∴。∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，)。

連接AD，設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，則有

解得。

∴直線AD為。

∵二次函數(shù)的圖象過M（，0)、A(5，0)，

∴拋物線對稱軸x=。

∵點(diǎn)M、A關(guān)于直線x=對稱，設(shè)直線AD與直線x=交于點(diǎn)P，

∴PD+PM為最小。

又∵DM為定長，∴滿足條件的點(diǎn)P為直線AD與直線x=的交點(diǎn)。

當(dāng)x=時(shí)，。

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）。

（3）存在。

∵，

又由（2）知D（0，)，P（，），

∴由，得，解得yQ=±。

∵二次函數(shù)的圖像過M(0，)、A(5，0），

∴設(shè)二次函數(shù)解析式為，

又∵該圖象過點(diǎn)D（0，)，∴，解得a=。

∴二次函數(shù)解析式為。

又∵Q點(diǎn)在拋物線上，且yQ=±。

∴當(dāng)yQ=時(shí)，，解得x=或x=；

當(dāng)yQ=時(shí)，，解得x=。

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，)，或（，)，或（，）。

【解析】

試題分析：（1）連接CM，可以得出CM=OM，就有∠MOC=∠MCO，由OA為直徑，就有∠ACO=90°，D為OB的中點(diǎn)，就有CD=OD，∠DOC=∠DCO，由∠DOC+∠MOC=90°就可以得出∠DCO+∠MCO=90°而得出結(jié)論。

（2）根據(jù)條件可以得出和，從而求出OB的值，根據(jù)D是OB的中點(diǎn)就可以求出D的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式，求出對稱軸，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)連接AD交對稱軸于P，先求出AD的解析式就可以求出P的坐標(biāo)。

（3）根據(jù)，求出Q的縱坐標(biāo)，求出二次函數(shù)解析式即可求得橫坐標(biāo)。