Question

如圖，已知雙曲線y=

k

x

與直線y=

1

4

x相交于A、B兩點(diǎn)．第一象限上的點(diǎn)M（m，n）（在A點(diǎn)左側(cè)）是雙曲線y=

k

x

上的動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)B作BD∥y軸交x軸于點(diǎn)D．過N（0，-n）作NC∥x軸交雙曲線y=

k

x

于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)C．
（1）若點(diǎn)D坐標(biāo)是（-8，0），求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)及k的值．
（2）若B是CD的中點(diǎn)，四邊形OBCE的面積為4，求直線CM的解析式．
（3）設(shè)直線AM、BM分別與y軸相交于P、Q兩點(diǎn)，且MA=pMP，MB=qMQ，求p-q的值．

Answer 1

分析：（1）由BD∥y軸，可知B點(diǎn)與D點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，將x=-8代入直線y=

1

4

x，即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；再根據(jù)A點(diǎn)與B點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求出A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先由B是CD中點(diǎn)，D點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，可知B點(diǎn)縱坐標(biāo)是C點(diǎn)縱坐標(biāo)的

1

2

，即為-

n

2

，又B點(diǎn)在直線y=

1

4

x上，把y=-

n

2

代入直線y=

1

4

x，得B點(diǎn)橫坐標(biāo)為-2n，從而可用含n的代數(shù)式表示k及E點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)四邊形OBCE的面積=矩形ODCN面積-直角三角形ODB的面積-直角三角形ONE的面積，列出關(guān)于n的方程，解方程求出n的值，即可得出C、M兩點(diǎn)的坐標(biāo)，最后運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線CM的解析式；
（3）由于點(diǎn)M（m，n）在雙曲線y=

k

x

上，得出k=mn，再聯(lián)立雙曲線y=

mn

x

與直線y=

1

4

x，求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由MA=pMP，MB=qMQ求出p、q，從而得出p-q的值．

解答：解：（1）將x=-8代入直線y=

1

4

x，
得y=-2．
∴點(diǎn)B坐標(biāo)（-8，-2），--（1分）
將點(diǎn)B坐標(biāo)（-8，-2）代入y=

k

x

得：
k=xy=16．--（2分）
∵A點(diǎn)是B點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（8，2）．--（3分）

（2）∵B是CD中點(diǎn)，C點(diǎn)縱坐標(biāo)為-n，
∴B點(diǎn)縱坐標(biāo)為-

n

2

，
把y=-

n

2

代入直線y=

1

4

x，得B點(diǎn)橫坐標(biāo)為-2n，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)（-2n，0），B點(diǎn)坐標(biāo)（-2n，-

n

2

），C點(diǎn)坐標(biāo)（-2n，-n）．--（4分）
∴k=（-2n）×（-

n

2

）=n²．
將E點(diǎn)縱坐標(biāo)-n代入方程y=n²/x，得其橫坐標(biāo)-n．
∵四邊形OBCE的面積=矩形ODCN面積-Rt△ODB的面積-Rt△ONE的面積，
∴4=2n²-

1

2

n²-

1

2

n²，
解得n=2．--（5分）
所以C點(diǎn)坐標(biāo)（-4，-2），M點(diǎn)坐標(biāo)（2，2）--（6分）
設(shè)直線CM的解析式為y=kx+b，則

-4k+b=-2 2k+b=2

，
解得

k= 2 3 b= 2 3

．
∴直線CM解析式為y=

2

3

x+

2

3

．--（7分）

（3）將點(diǎn)M的坐標(biāo)（m，n）代入雙曲線方程得：k=mn．
雙曲線y=

mn

x

與直線y=

1

4

x聯(lián)立，
解得A點(diǎn)坐標(biāo)（2

mn

，

mn

2

），B點(diǎn)坐標(biāo)（-2

mn

，-

mn

2

），
∴MA=

(2 mn) -m)2+( mn 2 -n)2

，
MP=

MH2+HP2

，
∵M(jìn)A=pMP，MB=qMQ，
∴p=

MA

MP

=

2 mn -m

m

，--（9分）
q=

MB

MQ

=

2 mn +m

m

，--（11分）
∴p-q=

2 mn -m

m

-

2 mn +m

m

=-2．--（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了反比例函數(shù)，正比例函數(shù)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．此題難度稍大，綜合性比較強(qiáng)，注意對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用．