Question

如圖①，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在x軸上，點(diǎn)C在第一象限，AC=BC，點(diǎn)D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)．已知A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-3，0）、（0，4），
（1）直接寫(xiě)出下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：
B

（9，0）

；C

（3，8）

；E

（6，4）

；
（2）如圖②動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→D→E的方向向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)（不與E重合），同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿D→E→B的方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（不與B重合），P、M運(yùn)動(dòng)的速度均為每秒1個(gè)單位，過(guò)點(diǎn)P的直線l與線段BC平行，交線段AB于點(diǎn)Q，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0），
①直接寫(xiě)出t的取值：
當(dāng)

5≤t＜11

時(shí)，四邊形PQBE為平行四邊形；
當(dāng)

t=6

時(shí)，四邊形PQBM為菱形；
②求△BQM的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)的t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)A、D的直線解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A（-3，0）、D（0，4）代入即可求出直線AD的解析式，再由兩點(diǎn)間的距離公式求出線段AD的長(zhǎng)，設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo)，由AD=CD即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，由AC=BC可知點(diǎn)D與點(diǎn)E，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線CH對(duì)稱(chēng)，故可得出B、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）①先求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)可知DE是△ABC的中位線，故可求出DE的長(zhǎng)，由于PQ∥BC，故可得出當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)M在線段DE上時(shí)四邊形PQBE為平行四邊形，再由AD+DE=5+6=11，P、M運(yùn)動(dòng)的速度均為每秒1個(gè)單位即可得出當(dāng)四邊形PQBE為平行四邊形時(shí)t的取值范圍；再由四邊形PQBM為菱形，PQ∥BE，故M、E重合，由此即可得出t的值；
②由于當(dāng)0＜t＜5時(shí)，點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)M在DE上；當(dāng)5≤t≤6時(shí)，點(diǎn)P、點(diǎn)M均在DE上；當(dāng)6＜t＜11時(shí)，點(diǎn)P在DE上，點(diǎn)M在EB上故應(yīng)分三種情況進(jìn)行討論．

解答：解：（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)A、D的直線解析式為y=kx+b，
∵點(diǎn)A（-3，0）、D（0，4）代入得

-3k+b=0 b=4

，
解得

k= 4 3 b=4

，
∴直線AD的解析式為y=

4

3

x+4，
∴AD=

(-3)2+42

=5，
∵點(diǎn)D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，
∴CD=AD=5，
設(shè)點(diǎn)C（x，

4

3

x+4），則
CD=

x2+( 4 3 x)2

=

5

，
解得x₁=3或x₂=-3（舍去），
∴C（3，8），
如圖①，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，則直線CH的解析式為x=3，
∵AC=BC，
∴點(diǎn)D與點(diǎn)E，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線CH對(duì)稱(chēng)，
∵A（-3，0）、D（0，4），
∴B（9，0）；E（6，4），
故答案為：B（9，0）；C（3，8）；E（6，4）；

（2）①∵A（-3，0），B（9，0），
∴AB=|9+3|=12，
∵點(diǎn)D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE∥AB，DE=

1

2

AB=6，
∵PQ∥BC，
∴當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)M在線段DE上時(shí)四邊形PQBE為平行四邊形，
∵AD+DE=5+6=11，P、M運(yùn)動(dòng)的速度均為每秒1個(gè)單位，
∴當(dāng)5≤t＜11時(shí)，四邊形PQBE為平行四邊形；
∵四邊形PQBM為菱形，
∴PQ∥BM，
∵PQ∥BE，
∴M、E重合，
∵DE=6，
∴當(dāng)t=6時(shí)，四邊形PQBM為菱形．
故答案為：5≤t＜11；t=6；
②由題意得：AC=BC=10，AB=12，DE為△ABC的中位線，
則DE∥AB，DE=6，AD=CD=BE=CE=5
當(dāng)0＜t＜5時(shí)，點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)M在DE上，AP=DM=t，
∵PQ∥BC，
∴∠AQP=∠ABC
∵∠PAQ=∠CAB，
∴△PAQ∽△CAB
∴

AP

AC

=

AQ

AB

，即

t

10

=

AQ

12

，則AQ=

6

5

t，BQ=12-

6

5

t，
∴S=

1

2

(12-

6

5

t)•4=-

12

5

t+24；
當(dāng)5≤t≤6時(shí)，點(diǎn)P、點(diǎn)M均在DE上，PE=BQ=11-t，
則S=

1

2

(11-t)•4=-2t+22；
當(dāng)6＜t＜11時(shí)，點(diǎn)P在DE上，點(diǎn)M在EB上，則BM=11-t，PE=BQ=11-t，
如圖②，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥AB，垂足為F，則MF=

4

5

(11-t)
則S=

1

2

(11-t)•

4

5

(11-t)=

2

5

(11-t)2=

2

5

t2-

44

5

t+

242

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、平行四邊形的判定等相關(guān)知識(shí)，難度較大．