Question

如圖，直線y=-

3

4

x+3分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，線段OA上有一動(dòng)點(diǎn)P由原點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）直接填出兩點(diǎn)的坐標(biāo)：A：

（4，0）

，B：

（0，3）

；
（2）過點(diǎn)P作直線截△ABO，使截得的三角形與△ABO相似，若當(dāng)P在某一位置時(shí)，滿足條件的直線共有4條，t的取值范圍是

0＜t≤

9

4

；
（3）如圖，過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C，設(shè)以C為頂點(diǎn)的拋物線 y=（x+m）²+n與直線AB的另一交點(diǎn)為D，
①用含t的代數(shù)式分別表示m=

-t

，n=

-

3

4

t+3

；
②隨著點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，CD的長(zhǎng)是否為定值？若是，請(qǐng)求出CD長(zhǎng)；若不是，說明理由；
③設(shè)△COD的OC邊上的高為h，請(qǐng)直接寫出當(dāng)t為何值時(shí)，h的值最大？

Answer 1

分析：（1）在直線AB的解析式中，令x=0，能得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；令y=0，能得到點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）此題需要注意的是“滿足條件的直線共有4條”這個(gè)條件，這四條直線中，“過P與直線AB平行的直線、過P與y軸平行的直線、過P與直線AB垂直的直線”這三條直線，點(diǎn)P只要在線段OA上就都能滿足“截得的三角形與△ABO相似”，所以求t的取值范圍，關(guān)鍵要看第四條，即：當(dāng)∠PBO=∠BAO時(shí)，△PBO、△BAO相似，那么此時(shí)點(diǎn)P的位置就能確定符合條件的t的最大值，可根據(jù)這個(gè)思路解答．
（3）①根據(jù)直線AB的解析式，用t表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)，而點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)，且拋物線的解析式已表示為頂點(diǎn)式，則m、n的值可求；
②聯(lián)立直線AB與拋物線的解析式，先求出C、D點(diǎn)的坐標(biāo)，再判斷線段CD的長(zhǎng)是否為定值；
③由②的結(jié)論知CD是定長(zhǎng)，那么以CD為底、點(diǎn)O到直線AB的距離為高即可判斷出△OCD的面積是一個(gè)定值，反過來看，若以O(shè)C為底、h為高，那么當(dāng)OC最短時(shí)，h的值最大；在Rt△AOB中，顯然只有當(dāng)OC⊥AB時(shí)，OC最大，此時(shí)，先由△AOB的面積求出OC的長(zhǎng)，然后在Rt△OCA中，由射影定理求出OP的長(zhǎng)，則t值可求．

解答：解：（1）直線y=-

3

4

x+3中，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即 B（0，3）；
當(dāng)y=0時(shí)，x=4，即 A（4，0）；
∴A（4，0）、B（0，3）．

（2）如右圖，過P作l∥AB、l⊥OA、l⊥AB時(shí)，△PBO、△BAO都相似，此時(shí)點(diǎn)P在線段OA上時(shí)，都符合要求，所以只考慮第四種情況：
當(dāng)∠PBO=∠BAO時(shí)，Rt△PBO∽R(shí)t△BAO；
易知：tan∠PBO=tan∠BAO=

OB

OA

=

3

4

；
在Rt△OBP中，OB=3，則 OP=OB•tan∠PBO=3×

3

4

=

9

4

∴滿足條件的t的取值范圍是 0＜t≤

9

4

．

（3）①由題意，知：P（t，0），則 C（t，-

3

4

t+3），而拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （-m，n），
∴m=-t，n=-

3

4

t+3；
②由①知：y=（x-t）²-

3

4

t+3，聯(lián)立直線AB的解析式，有：

y=(x-t)2- 3 4 t+3 y=- 3 4 x+3

，解得

x1=t y1=- 3 4 t+3

、

x2=t- 3 4 y2=- 3 4 t+ 57 16

∴點(diǎn)C（t，-

3

4

t+3）、D（t-

3

4

，-

3

4

t+

57

16

）；
可求得，CD的長(zhǎng)為定值，且CD=

15

16

；
③由②知：CD的長(zhǎng)是定值，且點(diǎn)O到CD的距離不變，所以△OCD的面積是定值；
在△OCD中，以O(shè)C為底、h為高，則 S_△OCD=

1

2

OC•h，S_△OCD是定值，所以當(dāng)OC最短時(shí)，h最大；
在Rt△OAB中，OC為底邊AB上的高時(shí)，OC最短，此時(shí)OC⊥AB；
OC=

OA•OB

AB

=

12

5

；
在Rt△OAC中，OP=

OC2

OA

=

( 12 5 )2

4

=

36

25

；
∴當(dāng)t=

36

25

時(shí)，h的值最大．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的內(nèi)容較為繁雜，在（2）題中，找出四條符合條件的直線是解答該題的關(guān)鍵；最后一個(gè)小題中，以三角形的面積是定值為跳板來判斷OC和h之間的關(guān)系是解題的突破口．