Question

如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD的對稱中心，AB＝10cm，BC＝12cm．點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別從A，B，C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為3cm／s，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為1.5cm／s．當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C（即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，△EBF關(guān)于直線EF的對稱圖形是△EB'F，設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)，G運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）．

（1）當(dāng)t＝　 　  s時(shí)，四邊形EBFB'為正方形；

（2）若以點(diǎn)E，B，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形相似，求t的值；

（3）是否存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B'與點(diǎn)O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）2.5。

（2）由題意得AE=t，BF=3t，CG=1.5t。

∵AB＝10，BC＝12，∴。

∵點(diǎn)F在BC上運(yùn)動(dòng)，∴，即。

①當(dāng)△EBF∽△FCG時(shí)，，∴，解得。

②當(dāng)△EBF∽△GCF時(shí)，，∴，化簡，得。

解得（不合題意，舍去）。

∵，∴或符合題意。

∴若以點(diǎn)E，B，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形相似，則或。

（3）不存在，理由如下：

如圖，連接BD。

∵點(diǎn)O為矩形ABCD的對稱中心，∴點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)。

假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B'與點(diǎn)O重合，此時(shí)，EF是OB的垂直平分線，垂足為點(diǎn)H。

∵易知，。

易證△EHB∽△BHF∽△BCD，

∴。∴。

∵點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度的3倍，但，

∴不存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B'與點(diǎn)O重合。

【解析】

試題分析：（1）由題意得AE=t，BF=3t。

∵AB＝10，BC＝12，∴。

由BE=BF得。

（2）分△EBF∽△FCG和△EBF∽△GCF討論即可。

（3）用反證法證明，假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B'與點(diǎn)O重合，求出此時(shí)AE和BF的值，與已知的速度得到的比值比較得出錯(cuò)誤的結(jié)論。