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        1. 如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),B精英家教網(wǎng)(3,0)其頂點(diǎn)為D,連接BD,點(diǎn)P是線段BD上一個(gè)動點(diǎn)(不與B,D重合),過點(diǎn)P作y軸的垂線,垂足為E連接BE.
          (1)求拋物線的解析式,并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
          (2)如果點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),△PBE的面積為S,求S與x的函數(shù)關(guān)系式,寫出自變量x的取值范圍,并求出S的最大值;
          (3)在(2)的條件下,當(dāng)S取得最大值時(shí),過點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為F,連接EF在這條拋物線上是否存在一點(diǎn)Q,使得直線EF為線段PQ的垂直平分線?若存在,請求出Q點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
          分析:(1)本題需先根據(jù)拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)經(jīng)過(-1,0)B(3,0)兩點(diǎn),分別求出a、b的值,再代入拋物線y=ax2+bx+3即可求出它的解析式.
          (2)本題首先設(shè)出BD解析式y(tǒng)=kx+b,再把B、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求出k、b的值,得出BD解析式,再根據(jù)面積公式即可求出最大值.
          (3)本題需先根據(jù)(2)得出最大值來,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),得出四邊形PEOF是矩形,再作點(diǎn)P關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)P′設(shè)出MC=m,則MF=m.從而得出P′M與P′E的值,根據(jù)勾股定理,得出m的值,再由△EHP′∽△EP′M,得出EH和OH的值,最后求出P′的坐標(biāo),判斷出不在拋物線上.
          解答:解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),
          精英家教網(wǎng)
          0=a-b+3
          0=9a+3b+3
          解得
          a=-1
          b=2

          拋物線的解析式為:y=-x2+2x+3,
          ∴y=-(x-1)2+4,
          ∴D(1,4);

          (2)設(shè)BD的解析式為y=kx+b,則有
          0=3k+b
          4=k+b
          解得
          k=-2
          b=6
          ,
          ∴BD的解析式為:y=-2x+6,
          ∵P的坐標(biāo)為(x,y),
          ∴P的坐標(biāo)為(x,-2x+6),
          ∴PE=x,
          ∴S=
          (x+3)(-2x+6)
          2
          -
          3(-2x+6)
          2
          ,
          ∴S=-x2+3x   (1<x<3),
          S=-(x-
          3
          2
          2+
          9
          4
          ,
          ∴S的最大值為
          9
          4


          精英家教網(wǎng)(3)不存在.
          當(dāng)x=
          3
          2
          時(shí),y=-2×
          3
          2
          +6=3,
          ∴P(
          3
          2
          ,3),
          ∴PF=3
          ∴四邊形PEOF是矩形.
          作點(diǎn)P關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)P′,連接P′E,P′F.
          過P′作P′H⊥y軸于H,P′F交y軸于點(diǎn)M,
          設(shè)MC=m,則MF=m,P′M=3-m,P′E=
          3
          2

          在Rt△P′MC中,由勾股定理,
          3
          2
          2+(3-m)2=m2,
          解得m=
          15
          8
          ,
          ∴MF=MC=
          15
          8
          ,P′M=
          9
          8

          ∵△P′CM∽△HEP′
          ∵CM•P′H=P′M•P′E,
          ∴P′H=
          9
          10
          ,
          由△EHP′∽△EP′M,
          可得 EH:EP′=EP′:EM,EH=
          6
          5

          ∴OH=3-
          6
          5
          =
          9
          5

          ∴P′坐標(biāo)(-
          9
          10
          ,
          9
          5
          ).
          將x=-
          9
          10
          代入拋物線的解析式,得y=
          39
          100
          9
          5

          ∴不在拋物線上.
          點(diǎn)評:本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式;根據(jù)二次函數(shù)的解析式求得函數(shù)的最值;勾股定理、相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算,注意數(shù)形結(jié)合的思想.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx+1的圖象與反比例函數(shù)y=
          9x
          的圖象在第一象限相精英家教網(wǎng)交于點(diǎn)A,過點(diǎn)A分別作x軸、y軸的垂線,垂足為點(diǎn)B、C.如果四邊形OBAC是正方形,求一次函數(shù)的關(guān)系式.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          5、如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(-2,0)和(2,0).月牙①繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到月牙②,則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為( 。

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,一顆棋子從點(diǎn)P處開始依次關(guān)于點(diǎn)A,B,C作循環(huán)對稱跳動,即第一次從點(diǎn)P跳到關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)M處,第二次從點(diǎn)M跳到關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)N處,第三次從點(diǎn)N跳到關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)處,…如此下去.
          (1)在圖中標(biāo)出點(diǎn)M,N的位置,并分別寫出點(diǎn)M,N的坐標(biāo):
           

          (2)請你依次連接M、N和第三次跳后的點(diǎn),組成一個(gè)封閉的圖形,并計(jì)算這個(gè)圖形的面積;
          (3)猜想一下,經(jīng)過第2009次跳動之后,棋子將落到什么位置.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,有一組對角線長分別為1,2,3的正方形A1B1C1O、A2B2C2B1、A3B3C3B2,其對角線OB1、B1B2、B2 B3依次放置在y軸上(相鄰頂點(diǎn)重合),依上述排列方式,對角線長為n的第n個(gè)正方形的頂點(diǎn)An的坐標(biāo)為
           

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)經(jīng)過A(-1,0)、B(3,0)兩點(diǎn),拋物線與y軸交點(diǎn)為C,其頂點(diǎn)為D,連接BD,點(diǎn)P是線段BD上一個(gè)動點(diǎn)(不與B、D重合),過點(diǎn)P作y軸的垂線,垂足為E,連接精英家教網(wǎng)BE.
          (1)求拋物線的解析式,并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
          (2)如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),△PBE的面積為s,求s與x的函數(shù)關(guān)系式,寫出自變量x的取值范圍,并求出s的最大值;
          (3)在(2)的條件下,當(dāng)s取得最大值時(shí),過點(diǎn)P作x的垂線,垂足為F,連接EF,把△PEF沿直線EF折疊,點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為P',請直接寫出P'點(diǎn)坐標(biāo),并判斷點(diǎn)P'是否在該拋物線上.

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          同步練習(xí)冊答案