Question

如圖，已知PA、PB切⊙O于A、B兩點，連接AB，且PA、PB的長是方程x2-2

3

x+3=0的兩根，AB=

3

，OP=2，求：
（1）PA、PB的長；
（2）∠APB的度數(shù)；
（3）⊙O的半徑；
（4）由PA、PB、

AB

圍成圖形（即陰影部分）的面積．

Answer 1

分析：（1）解關(guān)于x的一元二次方程即可得到PA、PB的長度；
（2）根據(jù)邊的長度可得PA=PB=AB，然后判定△PAB是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的每一個角都是60°即可得解；
（3）利用勾股定理列式計算即可求出OA的長，即圓的半徑；
（4）先根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出∠APO=30°，再求出∠AOP=60°，從而得到∠AOB=120°，然后根據(jù)陰影部分的面積=四邊形OAPB的面積-扇形OAB的面積，列式計算即可得解．

解答：解：（1）解方程x2-2

3

x+3=0得：x₁=x₂=

3

，
所以PA=PB=

3

；

（2）∵PA=PB=AB=

3

，
∴△PAB是等邊三角形，
∴∠APB=60°；

（3）連接OA，∵PA是⊙O的切線，
∴∠OAP=90°，
∵PA=

3

，OP=2，
∴OA=

OP2-PA2

=

22-( 3 )2

=1，
∴⊙O的半徑為1；

（4）由OA=1，OP=2知OA=

1

2

OP，
∴∠APO=30°，
∴∠AOP=60°，
∴∠AOB=120°，
∴S_陰=S_{四邊形OAPB}-S_扇形OAB=2S_△AOP-S_扇形OAB=2×

1

2

×1×

3

-

120π×12

360

=

3

-

1

3

π．

點評：本題是圓的綜合題型，主要考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應用，陰影部分的面積的求解，比較簡單．