Question

已知：如下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點M在x軸的負半軸上，以M為圓心畫半圓，交x軸于A，B兩點，交y軸的正半軸于C，過C作半圓M的切線CP，交x軸于P，若AO∶OB=4∶1，PC＋PA=12cm，

(1)求OC的長；

(2)在y軸的負半軸上是否存在點E，使以A，O，E為頂點的三角形與△POC相似，如果存在，求圖像經(jīng)過A，E兩點的一次函數(shù)解析式；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)連結(jié)AC、BC，因為AB為直徑， 　　所以AC⊥BC，又CO⊥AB，△AOC∽△ACB， 　　所以=AO·AB， 　　同理可證=BO·AB， 　　 　　因為PC切圓M于C，所以∠BAC=∠PCB，又∠APC為公共角，所以△PAC∽△PCB，，即PA=2PC， 　　由已知，PC＋PA=12cm，所以PC＋2PC=12cm，3PC=12cm，PC=4cm，PA=8cm． 　　由切割線定理，有=PB·8，PB=2cm，AB=PA－PB=8－2=6cm． 　　因為AO∶OB=4∶1，所以O(shè)B=cm，AO=cm，又=AO·OB，所以O(shè)C=cm． 　　(2)設(shè)點E存在，若∽△POC， 　　 　　所以=cm，即點(0，－)，點A(－，0)，設(shè)直線的解析式為y=kx＋b， 　　則有 　　所以所求一次函數(shù)解析式為 　　 　　這時點(0，－)，可求得的解析式為y 　　所以符合條件的點E存在，有兩個，所求一次函數(shù)解析式為y=－x－或y=－