Question

如圖，直線y1=-

1

2

x+2交x軸于A，該直線與拋物線y2=ax2-

3

2

x-2在第二象限內(nèi)的交點(diǎn)是B，BD⊥x軸，垂足為D，且△ABD的面積是9．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及拋物線的解析式；
（2）拋物線與直線y₁的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，P是線段QB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn)，若P的坐標(biāo)是（m，n），請(qǐng)用關(guān)于m的代數(shù)式表示線段PE長度；
（3）連接線段BE，QE，是否存在P點(diǎn)，使△QBE的面積S最大？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x，根據(jù)直線解析式表示出縱坐標(biāo)，然后再根據(jù)△ABD的面積是9列出方程即可求出x的值，然后得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）聯(lián)立直線的解析式與拋物線的解析式求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A與點(diǎn)Q重合，再分別求出橫坐標(biāo)為m時(shí)的點(diǎn)P與點(diǎn)E的縱坐標(biāo)的長度，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離即可表示出線段PE的長度；
（3）根據(jù)S_△QBE=S_△PBE+S_△PEQ，兩三角形都以PE為底邊，根據(jù)三角形面積公式列式并整理，然后再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題進(jìn)行求解．

解答：解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，-

1

2

x+2=0，
解得x=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），
設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是x，則縱坐標(biāo)為-

1

2

x+2，
∴S_△ABD=

1

2

（4-x）×（-

1

2

x+2）=9，
整理得，（x-4）²=36，
解得x=-2或x=10（舍去），
-

1

2

x+2=-

1

2

×（-2）+2=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-2，3），
∵直線與拋物線y2=ax2-

3

2

x-2在第二象限內(nèi)的交點(diǎn)是B，
∴4a-

3

2

×（-2）-2=3，
解得a=

1

2

，
∴拋物線的解析式是y=

1

2

x²-

3

2

x-2；
故答案為：B（-2，3）；拋物線的解析式是y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）直線與拋物線解析式聯(lián)立得，

y= - 1 2 x+2 y= 1 2 x2- 3 2 x-2

，
解得

x1=-2 y1=3

，

x2=4 y2=0

，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)是（4，0），
∵點(diǎn)A坐標(biāo)也是（4，0），
∴點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，
∵P是線段QB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P的坐標(biāo)是（m，n），
∴n=-

1

2

m+2，
點(diǎn)E的縱坐標(biāo)是

1

2

m²-

3

2

m-2，
∴PE=（-

1

2

m+2）-（

1

2

m²-

3

2

m-2）=-

1

2

m²+m+4；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)P（m，n），
則S_△QBE=S_△PBE+S_△PEQ，
=

1

2

×（-

1

2

m²+m+4）×[m-（-2）]+

1

2

×（-

1

2

m²+m+4）×（4-m），
=

1

2

×（-

1

2

m²+m+4）×（m+2+4-m），
=-

3

2

（m²-2m-8），
=-

3

2

（m-1）²+

27

2

，
∵-

3

2

＜0，
∴存在點(diǎn)P，使△QBE的面積S最大，
當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m=1時(shí)，△QBE的面積S最大值是

27

2

，
此時(shí)n=-

1

2

×1+2=

3

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的知識(shí)點(diǎn)有三角形面積的求解方法，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，兩點(diǎn)的距離公式，解一元二次方程，綜合性較強(qiáng)，難度較大，設(shè)計(jì)本題的巧妙指出在于點(diǎn)A與點(diǎn)Q正好重合，是道不錯(cuò)的好題．