Question

矩形OABC的頂點A(-8，0)、C(0，6) ，點D是BC邊上的中點，拋物線經過A、D兩點，如圖所示．
【小題1】求點D關于y軸的對稱點的坐標及a、b的值；
【小題2】在y軸上取一點P, 使PA+PD長度最短, 求點P的坐標；
【小題3】將拋物線向下平移,記平移后點A的對應點為，點D的對應點為，當拋物線平移到某個位置時，恰好使得點O是y軸上到兩點距離之和最短的一點，求此拋物線的解析式．

Answer 1

【小題1】（1）由矩形的性質可知：B（-8，6）
∴D（-4，6）； 點D關于y軸對稱點D′（4，6）
將A（-8，0）、D（-4，6）代入，得：
；     
【小題2】設直線AD′的解析式為，則：
∴     解得：      
∴直線與y軸交于點（0，4），所以點P（0，4）
【小題3】解法1：由于OP＝4，故將拋物線向下平移4個單位時，有OA₁+OD₁最短；
∴  ，即此時的解析式為；
解法2：設拋物線向下平移了m個單位，則A₁（-8，-m），D₁（-4，6-m），
∴
令直線為；

∵點O為使OA₁+OD₁最短的點，∴  ∴m=4，
即將拋物線向下平移了4個單位；
∴ ，即此時的解析式為.

解析