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        1. 【題目】直線MN與直線PQ垂直相交于O,點A在直線PQ上運動,點B在直線MN上運動.

          (1)如圖1,已知AEBE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線,點AB在運動的過程中,∠AEB的大小是否會發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明變化的情況;若不發(fā)生變化,試求出∠AEB的大。

          (2)如圖2,已知AB不平行CD,AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線,又DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線,點A、B在運動的過程中,∠CED的大小是否會發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明理由;若不發(fā)生變化,試求出其值.

          (3)如圖3,延長BAG,已知∠BAO、OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及延長線相交于E、F,在AEF中,如果有一個角是另一個角的3倍,試求∠ABO的度數(shù).

          【答案】(1∠AEB=135°;(2∠E=67.5°;(3∠ABO60°45°

          【解析】試題分析:(1)根據(jù)直線MN與直線PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°,再由AEBE分別是∠BAO∠ABO角的平分線得出∠BAE=∠OAB,∠ABE=∠ABO,由三角形內角和定理即可得出結論;

          2)延長AD、BC交于點F,根據(jù)直線MN與直線PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°,進而得出∠OAB+∠OBA=90°,故∠PAB+∠MBA=270°,再由AD、BC分別是∠BAP∠ABM的角平分線,可知∠BAD=∠BAP,∠ABC=∠ABM,由三角形內角和定理可知∠F=45°,再根據(jù)DE、CE分別是∠ADC∠BCD的角平分線可知∠CDE+∠DCE=112.5°,進而得出結論;

          3))由∠BAO∠BOQ的角平分線相交于E可知∠EAO=∠BAO∠EOQ=∠BOQ,進而得出∠E的度數(shù),由AE、AF分別是∠BAO∠OAG的角平分線可知∠EAF=90°,在△AEF中,由一個角是另一個角的3倍分四種情況進行分類討論.

          解:(1∠AEB的大小不變,

          直線MN與直線PQ垂直相交于O,

          ∴∠AOB=90°,

          ∴∠OAB+∠OBA=90°,

          ∵AEBE分別是∠BAO∠ABO角的平分線,

          ∴∠BAE=∠OAB,∠ABE=∠ABO,

          ∴∠BAE+∠ABE=∠OAB+∠ABO=45°,

          ∴∠AEB=135°;

          2∠CED的大小不變.

          延長AD、BC交于點F

          直線MN與直線PQ垂直相交于O,

          ∴∠AOB=90°,

          ∴∠OAB+∠OBA=90°,

          ∴∠PAB+∠MBA=270°

          ∵AD、BC分別是∠BAP∠ABM的角平分線,

          ∴∠BAD=∠BAP∠ABC=∠ABM,

          ∴∠BAD+∠ABC=∠PAB+∠ABM=135°

          ∴∠F=45°,

          ∴∠FDC+∠FCD=135°,

          ∴∠CDA+∠DCB=225°,

          ∵DE、CE分別是∠ADC∠BCD的角平分線,

          ∴∠CDE+∠DCE=112.5°,

          ∴∠E=67.5°;

          3∵∠BAO∠BOQ的角平分線相交于E,

          ∴∠EAO=∠BAO∠EOQ=∠BOQ,

          ∴∠E=∠EOQ﹣∠EAO=∠BOQ﹣∠BAO=∠ABO

          ∵AE、AF分別是∠BAO∠OAG的角平分線,

          ∴∠EAF=90°

          △AEF中,

          有一個角是另一個角的3倍,故有:

          ①∠EAF=3∠E∠E=30°,∠ABO=60°

          ②∠EAF=3∠F,∠E=60°,∠ABO=120°

          ③∠F=3∠E,∠E=22.5°,∠ABO=45°

          ④∠E=3∠F,∠E=67.5°,∠ABO=135°

          ∴∠ABO60°45°

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