Question

（2013•長(zhǎng)寧區(qū)一模）在直角坐標(biāo)平面中，已知點(diǎn)A（10，0）和點(diǎn)D（8，0）．點(diǎn)C、B在以O(shè)A為直徑的⊙M上，且四邊形OCBD為平行四邊形．
（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求過O、C、B三點(diǎn)的拋物線解析式，并用配方法求出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；
（3）判斷：（2）中拋物線的頂點(diǎn)與⊙M的位置關(guān)系，說明理由．

Answer 1

分析：（1）作MN⊥BC于點(diǎn)N，連接MC，利用垂徑定理求得線段MN后即可確定點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）用同樣的方法確定點(diǎn)D的坐標(biāo)后利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式，然后配方后即可確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸；
（3）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn)M的坐標(biāo)確定兩點(diǎn)之間的距離，然后根據(jù)半徑與兩點(diǎn)之間的線段的大小關(guān)系即可確定頂點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．

解答：解：（1）如圖，作MN⊥BC于點(diǎn)N，連接MC，
∵A（10，0）和點(diǎn)D（8，0）．
∴點(diǎn)M（5，0），
∵點(diǎn)C、B在以O(shè)A為直徑的⊙M上，且四邊形OCBD為平行四邊形，
∴⊙M的半徑為5，BC=OD=8，
∴在Rt△MNC中，MC=5，NC=

1

2

BC=4，
∴MN=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，3）；

（2）∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，3），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（9，3），
設(shè)過O、C、B三點(diǎn)的拋物線解析式為y=ax²+bx，
∴

a+b=3 81a+9b=3

解得：

a=- 1 3 b= 10 3

∴解析式為：y=-

1

3

x²+

10

3

x，
∴y=-

1

3

x²+

10

3

x=-

1

3

（x-5）²+

25

3

，
∴對(duì)稱軸為x=5，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5，

，25

3

）；

（3）∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5，

，25

3

），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（5，0），
∴頂點(diǎn)到點(diǎn)M的距離為

25

3

，
∵

25

3

＞5
∴拋物線的頂點(diǎn)在⊙M外．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，還考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，本題難度不大，但綜合性比較強(qiáng)．