Question

如圖1，已知：拋物線y=

1

2

x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的直線是y=

1

2

x-2，連接AC．
（1）寫出B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，并求拋物線的解析式；
（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）若△ABC內(nèi)部能否截出面積最大的矩形DEFG（頂點(diǎn)D、E、F、G在△ABC各邊上）？若能，求出在AB邊上的矩形頂點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．
{拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)}．

Answer 1

（1）直線y=

1

2

x-2中，令y=0，則x=4；令x=0，則y=-2；
故B（4，0），C（0，-2）；
由于拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（0，-2），故c=-2；
將B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=

1

2

x²-bx-2中，得：b=-

3

2

；
∴拋物線的解析式為y=

1

2

x2-

3

2

x-2．

（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式可知A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）；
則AB=5，AC=

5

，BC=2

5

；
故AC²+BC²=5+20=25=AB²，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°．

（3）分兩種情況考慮：
①如圖①所示，矩形DEFG中D、E在AB邊上；
設(shè)DG=EF=m；
由于FG∥x軸，則△CGF∽△CAB，

2-m

2

=

FG

5

，
解得FG=5-

5

2

m；
故矩形的面積S=DG•FG=（5-

5

2

m）m=-

5

2

m²+5m，
即S=-

5

2

（m-1）²+

5

2

，
故m=1時，矩形的面積最大為2.5；
此時D（-

1

2

，0），E（2，0），G（-

1

2

，-1），F(xiàn)（2，-1）；
②如圖②所示，矩形DEFG中，F(xiàn)、C重合，D在AB邊上；
設(shè)DE=CG=n，同①可得：

5 -n

5

=

DG

2 5

即DG=2

5

-2n；
故矩形的面積S=DE•DG=（2

5

-2n）n=-2（n-

5

2

）²+

5

2

；
即當(dāng)n=

5

2

時，矩形的最大面積為2.5；
此時BD=5×

DE

5

=

5

2

，OD=OB-BD=

3

2

，
即D（

3

2

，0）；
綜上所述，矩形的最大面積為2.5，此時矩形在AB邊上的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

1

2

，0），（2，0）或（

3

2

，0）．