Question

已知關(guān)于x的方程x²-2mx+

1

4

n²=0，其中m、n分別是一個(gè)等腰三角形的腰和底邊．
（1）求證：這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）若方程的兩根x₁、x₂滿足丨x₁-x₂丨=8，且等腰三角形的面積為4，求m、n的值．

Answer 1

分析：先根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系知：x₁+x₂=2m，x₁x₂=

1

4

n²，根據(jù)判別式即可證明有不相等的實(shí)根，再利用（x₁+x₂）²-4x₁x₂=64可列方程4m²-n²=64；再根據(jù)m，n分別是一個(gè)面積為4的等腰三角形的腰與底邊的長(zhǎng)，可得到S_△=n×

1

2

×

m2- 1 4 n2

=4，與4m²-n²=64聯(lián)立方程即可解得n，m的值；

解答：解：（1）∵方程x²-2mx+

1

4

n²=0，
∴△=4m²-n²，
又∵m、n分別是一個(gè)等腰三角形的腰和底邊，所以2m＞n，即三角形任意兩邊之和大于第三邊，
故：4m²＞n²，即△=4m²-n²＞0，
故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）∵x₁+x₂=2m，x₁x₂=

1

4

n²，
又∵|x₁-x₂|=8，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=64，即4m²-n²=64；
∵m，n分別是一個(gè)面積為4的等腰三角形的腰與底邊的長(zhǎng)，
∴S_△=n×

1

2

×

m2- 1 4 n2

=4，
與4m²-n²=64聯(lián)立方程，解得：n=2，m=

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；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式及等腰三角形的性質(zhì)，難度較大，關(guān)鍵是正確靈活運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解題．