Question

已知：如圖，OA與oB外切于點(diǎn)C，DE是兩圓的一條外公切線，切點(diǎn)分別為D、E．
（1）判斷△DCE的形狀并證明；
（2）過點(diǎn)C作CO⊥DE，垂足為點(diǎn)O，以直線DE為x軸、直線DC為y軸建立直角坐標(biāo)系，且OE=2，OD=8，求經(jīng)過D、C、E三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)解析式，并求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）這條拋物線的頂點(diǎn)是否在連心線AB上？如果在，請你證明；如果不在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）過C點(diǎn)作⊙A與⊙B的內(nèi)公切線交DE于F，可得出FC=FD，F(xiàn)C=FE，則△DCE是直角三角形；
（2）可證明△DOC∽△COE，則OC²=OD•OF=16，可求出C點(diǎn)坐標(biāo)（0，4），設(shè)經(jīng)過D、C、E三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c或者y=a（x-x₁）（x-x₂），把D（-8，0），E（2，0），C（0，4）代入即可解得解析式，從而求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）連接AD、BE，過B點(diǎn)作BG⊥AD于G，設(shè)⊙A半徑為R，⊙B半徑為r，由AD∥CO∥BE，得AC：CB=DO：OE=4：1，在Rt△AGB中，根據(jù)勾股定理可求得r．即可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），把拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的解析式，從而判斷出拋物線的頂點(diǎn)P在連心線AB上．

解答：解：（1）△DCE是直角三角形，
過C點(diǎn)作⊙A與⊙B的內(nèi)公切線交DE于F，則FC=FD，F(xiàn)C=FE，
∴FC是△CDE的中線，且FC=

1

2

DE，
∴△DCE是直角三角形，∠DCE=90°；

（2）在Rt△DCE中，CO⊥DE于O點(diǎn)，△DOC∽△COE，
∴OC²=OD•OF=16，OC=4，C點(diǎn)坐標(biāo)（0，4），
設(shè)經(jīng)過D、C、E三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c或者y=a（x-x₁）（x-x₂），
把．D（-8，0），E（2，0），C（0，4）代入解析式，
解得：y=-

1

4

x²-1.5x+4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-3，

25

4

）；

（3）答：拋物線的頂點(diǎn)在連心線AB上．證明如下：
連接AD、BE，過B點(diǎn)作BG⊥AD于G，設(shè)⊙A半徑為R，⊙B半徑為r，
∵AD∥CO∥BE，
∴AC：CB=DO：OE=4：1
在Rt△AGB中，AB²=AG²+BG²，
∴r=

5

2

R=10，
．∴A點(diǎn)坐標(biāo)（-8，10），B點(diǎn)坐標(biāo)（2，2.5），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
解得y=-

3

4

x+4，
把拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)（-3，

25

4

）代入直線的解析式，
左邊=右邊=

25

4

，
∴拋物線y=-

1

4

x²-1.5x+4的頂點(diǎn)P（-3，

25

4

）在連心線AB上．

點(diǎn)評：本題是一道二次函數(shù)的綜合題，考查相切兩圓的性質(zhì)、函數(shù)以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力．